확률과 통계를 공부하면서 확률밀도(Probability Mass Function)은 정말 자주 만나는 친구이다. 확률밀도를 이용하면 평균, 분산 그 이외의 기대값들을 계산 해 낼 수 있기 때문이다. 너무나 익숙해진 나머지 생각없이 사용하는데 확률밀도 함수가 무엇인지 한번 알아보도록 하자.
확률밀도함수(Probability Mass Function)의 정의
확률밀도함수(Probability Mass Function)는 이산확률변수(Discrete Random Variable)에 대해 정의 된다. 이산확률변수 $X$가 어떤 값을 어떤 확률로 갖게 되는지를 알수 있는것이 바로 확률밀도함수이다. 확률밀도함수의 정의를 살펴보자.
확률변수 $X$의 확률밀도함수는 $p_X(x_i)$로 표시하며 $x_i$는 확률변수 $X$가 이산적이다라는 것을 암시한다.
1. $P(X \in B) = \sum_{i: x_i \in B} p_X(x_i)$
2. $\sum_{i:x_i}p_X(x_i) = 1$
3. $0 \leq p_X(x_i) \leq 1$
1은 확률변수 X가 어느 값에 속할 확률을 PMF를 이용해 구할 수 있음을 보여준다.
2와 3은 PMF $p_X(x_i)$가 확률이라는 것을 암시한다. 다 합해서 1이되고 0과 1사이의 값을 갖으므로 PMF를 확률로 볼수 있다.