이번 글에서는 확률벡터(random vector)의 변수변환(change of variable)에 관해 알아보겠습니다. 확률벡터 $\mathbf{X}$가 있을 때 어떤 변환 $f$에 의해서 $\mathbf{Y}=f(\mathbf{X})$가 있다고 합시다. 이 때 $\mathbf{Y}$의 확률밀도함수(pdf: probability density function)를 구하는 데 유용한 것이 변수변환(change of variable)입니다. 이제 알아보겠습니다.
확률벡터(random vector)의 확률밀도함수(pdf: probability density function)에 관한 변수변환(change of variable)
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- 확률벡터의 정의
- 확률벡터(random vector)의 확률밀도함수(pdf: probability density function)
- 자코비안 행렬 (Jacobian matrix)에 대해 알아보기
확률벡터 $\mathbf{X}$가 있고 이것의 pdf (확률밀도함수, probability density function) $p_{\mathbf{X}} (\mathbf{x})$이 있다고 합시다. 일대일 함수 $f$가 있다고 합시다. 새로운 확률벡터 $\mathbf{Y} = f(\mathbf{X})$를 만들었습니다. 이 때 $\mathbf{Y}$의 pdf $p_{\mathbf{Y}} (\mathbf{y})$은 어떻게 구할까요? 다행히도 공식이 있습니다. 아래와 같이요.
$$p_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y}) = p_{\mathbf{X}} \left( f^{-1}(\mathbf{y}) \right) \mid det\left( J_{f^{-1}}(\mathbf{y}) ) \right)\mid$$
여기서 $f^{-1}$은 함수 $f$의 역함수이다. 그리고 $J_{f^{-1}}(\mathbf{y})$는 $f^{-1}$의 $\mathbf{y}$에서의 자코비안 행렬입니다. 그리고 det는 행렬의 determinant를 의미합니다.