확률변수 $X$는 우리가 알고 싶은 정보를 숫자로 표현한 것이다. 숫자이기 때문에 여러 계산이 가능하다. 의미있는 계산을 해야 되는데 그중에서 의미있는 것은 바로 기대값(Expectation)이다. 기대값의 의미는 이 확률변수가 평균적으로 어떤 값을 갖냐라는 것을 의미한다.
확률변수의 기대값 정의
확률변수 $X : (\Omega, A , P) \to \mathbb{R}$가 정의되어 있을 때 확률변수 $X$의 기대값은 다음과 같이 정의한다.
$$ E\left[ X \right] = \int_{\Omega} X(\omega) dP(\omega)$$
확률변수가 정의된 $\Omega$위에서 적분하면 바로 기대값이 된다. 그런데 위의 정의를 이용해서 구하는 경우는 드물다. 확률변수가 이산확률변수이면 확률밀도함수를 이용하여 계산하고 연속확률변수이면 확률질량함수를 이용하여 계산한다.
이산확률변수를 이용한 기대값 계산
이산확률변수 $X$의 PMF(Probability Mass Function) $p_X(k)$ 사용하면 기대값을 계산 할 수 있다.
$$E[X] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}p_{X}(k) k $$
응용 h(X) 꼴에 대하여 기대값 계산
$X$에 관한 확률변수 $h(X)$에 대해서도 기대값을 계산할 수 있다. 다음과 같다.
$$E[h(X)] = \sum_{k=\infty}^{\infty}p_X(k) h(k)$$
정의대로라면 $Y=h(X)$의 PMF를 우선구해야 되지만 위의 식에서 보다시피 $X$의 PMF를 이용해 계산할수있다.