확률변수의 수렴 convergence in probability

확률변수로 구성된 수열 $X_n$이 있다고 하자. 확률변수가 어딘가로 수렴한다는 것은 여러가지로 표현 할 수 있다. 이번에는 convergence in probability에 대해 알아보도록 하겠다.

확률변수로 구성된 수열 $X_n$이 수렴한다의 의미는 $n$이 커질때 $X_n$이 특정값보다 클 확률이 0에 수렴한다는 의미이다. 여기서 중요한 것은 확률이 0으로 수렴한다는 것인데 수학적인 의미를 파악하면 convergence in probability를 더 명확히 이해할 수 있을 것이다.

확률변수로 구성된 수열 $X_n$이 있다고 하자. 다음을 만족하는 실수 $a$가 있을 때 확률변수 $X_n$이 $a$로 converge in probability 한다고 정의한다.

$$\lim_{n\to\infty} P(|X_n -a | \geq \epsilon) = 0, \text{ for all } \epsilon >0$$

앞에서 설명한 convergence in probability의 의미를 수학적으로 정리해보았다. n이 커질수록 $a$와 거리가 커지는 확률이 0이라는 의미로 해석할 수 있다.