[확률적분] Stratonovich Integral

Stratonovich Integral 에 대해 알아보겠습니다.

지난 글들에서 Ito integral (이토적분)에 대해 알아보았습니다. 이토적분을 보다보면 한가지 의문이 생깁니다. stochastic process \mathbf{L}(t, \omega) 와 위너프로세스 (Wiener process) \mathbf{w}(t, \omega 에 대하여 이토적분을 아래와 같이 파티션을 쪼개서 합으로 나타내는데요.

\begin{equation} \int_0^t \mathbf{L}(\tau, \omega) d \mathbf{w}_\tau = \lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^N L(t_{i-1}, \omega) (\mathbf{w}(t_i, \omega)-\mathbf{w}(t_{i-1}, \omega)) \end{equation}

잘 보면 \mathbf{L}(t, \omega) 에서 t 에는 partition 의 왼쪽 점인 t = t_{i-1} 만 들어간다는 점입니다. 왜 하필 t_{i-1}, t_i 사이의 점중 왼쪽 끝점만 고르는지 의문인데요. 사실은 t_{i-1} , t_i 사이의 아무점인 t_{i-1} \leq t_i^* \leq t_i 를 골라서 적분을 정의해도 됩니다. 그러한 적분방식중에 하나인 Stratonovich integral 에 대해 알아보겠습니다.

Stratonovich Integral

Stratonovich Integral 은 식 (1) 에서 t_{i-1} \mathbf{L}(t, \omega) 에 집어 넣는 대신에 t_i^* = \frac{t_{i-1}+t_i}{2} 를 넣는 식으로 정의됩니다. 아래와 같이요.




\begin{equation} \int_{0}^t \mathbf{L}(\tau, \omega) \circ d \mathbf{w} = = \lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^N L(t_i^* , \omega) (\mathbf{w}(t_i, \omega)-\mathbf{w}(t_{i-1}, \omega)), \quad \text{ where, } t_i^* = \frac{t_{i-1}+t_i}{2}\end{equation}

Stratonovich Integral 을 Ito integral과 구분하기 위해 식(2)에서 \mathbf{L}(t,\omega) d \mathbf{w} 사이에 \circ 이 들어간것을 확인할 수 있습니다.

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