1계 선형미분방정식의 초기값을 고려한 정확한 풀이 방법!

1계 선형미분방정식 풀이 방법에 대해 제대로 알아보자. (First Order Linear Differential Equation)

지난 글에서 1계 선형미분방정식 풀이 방법에 대해 알아보았는데, 기호가 별루 맘에 안들었다. 그래서 이번에 제대로 한번 정리해보겠다.

1계 선형미분방정식는 아래와 같은 형태를 갖는다.

\begin{align} \frac{dy}{dx} + p(x) y = r(x), \quad a\leq x \leq b, \quad a < b \leq \infty \end{align}

지난 글에서는 부정적분과 정적분을 구분하고 썼는데, 이번글에서는 구분해서 1계 선형미분방정식의 해를 구하려고 한다. 지난 글()에서 정적분 기호만 잘 사용한거라 보면 된다.

1계 선형미분방정식 (1)의 $a \leq x \leq b$ 에서 해는 아래와 같다.

y(x) = \exp\left( - \int_{a}^{x} p(s) ds \right) \left[ \int_{a}^x \exp \left( \int_{a}^{\tau} p(s) ds \right)  r(\tau) d\tau + C\right]

이 때 $C$ 는 적분상수로써 초기조건에 의해 결정된다.

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