1계 선형 미분방정식의 풀이방법과 그 유도과정을 이해하고 예제를 풀어봅시다.
1계 선형 미분방정식(First Order Linear Differential Equations)은 가장 기본적이면서도 가장 많이 쓰인다고 볼 수 있는 미분방정식 형태입니다. 그런데, 정리를 안해놓으면 매번 까먹고 찾느라 시간이 허비하죠. 그래서 나중의 저를 위해 1계 선형 미분방정식이란 무엇인지 그리고 1계 선형미분방정식의 풀이방법, 그리고 1계 선형 미분방정식 풀이 예제에 대해 알려드리겠습니다.
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1계 선형미분방정식의 형태
아래와 같은 형태를 갖는 미분방정식을 1계 선형 미분방정식이라고 합니다.
\begin{equation} \frac{dy}{dx} + p(x) y = r(x) \quad \end{equation}특징이라면 미분이 한번 되어있고요. y 앞에 계수인 p(x) 와 오른쪽에 있는 함수 r(x) 모두 x 에만 의존한다는 점이죠.
1계 선형미분방정식 예제
1계 선형 미분방정식의 예제로는 아래와 같은 방정식이 있습니다.
\begin{equation} \sin x \frac{dy}{dx} +3x y = e^x \quad \end{equation}
식 (2)가 식 (1)가 달라보이지만 식 (2)에서 \frac{dy}{dx} 앞에 있는 \sin x 를 식 (2)에 나눠주면 식 (1) 형태가 나옵니다.
\begin{equation} \frac{dy}{dx} +\frac{3x}{\sin x} y = \frac{e^x}{\sin x} \quad \end{equation}1계 선형 미분방정식의 일반적인 풀이 방법
이제 1계 선형 미분방정식 (1)의 풀이 방법을 알아보겠습니다. 결론부터 말해서 (1)의 해는 아래와 같습니다.
\begin{equation} y = \exp \left( - \int p(x) dx\right) \left[\int \exp \left(\int p(x) dx\right) r(x) dx +C \right], \text{ $C$ 는 적분 상수} \end{equation}어떻게 해서 이식이 유도 되었을까요? 그것은 적분인자를 곱해서 가능해졌습니다. 적분인자를 아래와 같이 잡고요.
\begin{equation} F(x) = \exp \left( \int p(x) dx \right) \end{equation}위의 식 (5)를 식 (1)에 곱하겠습니다. 그러면 아래의 식이 유도됩니다.
여기서 미분을 해보시면 알겠지만 \frac{d}{dx} \left[ F(x) y \right] = F(x) \left(\frac{dy}{dx} + p(x) y\right) 라는 사실을 알 수 있습니다. 이점을 이용해서 (6)을 정리하면 아래와 같은 식이 유도됩니다.
\begin{equation} \frac{d}{dx} \left[ F(x) y\right]= F(x) r(x) \quad \end{equation}따라서 (7)의 식을 아래와 같이 적분하면 일반적인 해 ()를 얻을 수 있습니다.
\begin{align*} &F(x) y = \int F(x) r(x) dx + C\\ &\Rightarrow y = (F(x))^{-1} \left[\int(F(x))r(x) \right] \\ &\Rightarrow y=\exp \left( - \int p(x) dx\right) \left[\int \exp \left(\int p(x) dx\right) r(x) dx +C \right], \text{ $C$ 는 적분 상수} \end{align*}
1계 선형 미분방정식 풀이 예제
아래와 같은 1계 선형미분방정식이 있다고 합시다.
\frac{dy}{dx} - y = 3e^{2x}미분방정식 ()에서 p(x) =-1, r(x) = 3e^{2x} 이므로 이것을 식 (4)에 넣으면 아래와 같이 미분방정식의 해를 구할 수 있습니다.
y = 3 e^{2x} + Ce^x \quad \text{ $C$ 는 적분상수}여기서 C 는 초기조건에 의해 결정됩니다.
참고할만한 글들
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