Brownian bridge의 정의 및 closed form

Brownian bridge의 정의 및 closed form에 대해 알아보자. Brownian bridge는 Brownian motion B_t , 0 \leq t \leq T에 의해 정의된다.

Brownian bridge의 정의

아래의 SDE (Stochastic Differential Equation)을 따르는 stochastic process X_t 를 생각해보자. 여기서 \sigma>0 , T>0는 hyperparameter이다.

여기서 X_0 = x_0 , X_T = x_t 라는 조건이 추가 되었을 때 X_t 를 Brownian bridge라고 부른다. t=T 시점에 값이 정해졌다는 의미이다.

Brownian bridge의 closed form

X_0 = x_0 , X_T = x_t 라는 조건이 있는 Brownian bridge가 있을 때 어차피 X_t 확률미분 방정식 dX_t = \sigma dB_t 을 따르기 때문에 아래와 같은 두개의 식을 만족한다.

위 두식에서 위에 첫번째 식에 (1-t/T) 를 곱하고 두번째 식에 t/T 를 곱한 후 두식을 빼면 아래와 같이 정리 가능하다.

출처-https://arxiv.org/pdf/2303.16852