Brownian Bridge를 구성하는 SDE의 conditional distribution 에 대해 알아보자. 지난 글에서 Brownian Bridge는 아래와 같은 SDE를 따르면서 양 끝점에 값이 정해진 stochastic process X_t 라고 했다.
dX_t = \sigma dB_t, X_0=x_0, X_T = x_T, 0\leq t \leq TBrownian Bridge의 SDE의 condtiional distribution
X_t = x_t [latex]가 주어질 때 [latex] X_T 의 분포 p_{T|t}(x_T | x_t) 를 알고자 한다. 어쨋든 X_t는 위에서 소개한 SDE를 따르기 때문에 아래와 같은 꼴을 갖는다.
X_T = X_t + \sigma (B_T-B_t)여기서 X_t=x_t가 주어진다고 하자. B_T - B_t = N(0, (T-t)\mathbf{I}) 이므로 X_T \sim ~ N(x_t, \sigma^2 (T-t) \mathbf{I}) 임을 알 수 있다. 따라서
p_{T|t}(x_T|x_t) = N(x_T | x_t, \sigma^2 (T-t) \mathbf{I} )참고-https://arxiv.org/pdf/2303.16852