Brownian Bridge의 pdf (probability density function)에 대해 알아보자. 지난 글 ( Brownian bridge의 정의 및 closed form )에서 Browian bridge의 closed form에 대해 알아보았다.
Brownian bridge의 closed form
Brownian motion dX_t = \sqrt{\sigma}B_t , (0\leq t \leq T) 가 주어질 때,
X_T = (1- t/T) x_0 + t/T x_T + \sqrt{\sigma}[B_t - t/T B_T]이것을 이용해서 Brownian bridge의 pdf에 대해 알아보자.
Brownian bridge의 pdf
여기서 t/T B_T -B_t =t/T (B_T-B_t) + (t/T-1)B_t 이고 브라우니안 운동의 특성에 의해 t / T B_T-B_t 의 variance는 (t/T)^2 (T-t) + (t/T-1)^2 (t) =t(1-t/T) 입니다. 따라서
Brownian bride의 pdf는 p(x_t |x_0, x_T) = N (x_t \mid (1-t/T)x_0+t/Tx_T, t(1-t/T) \mathbb{I} )