단위 계단 신호(Unit Step Signal)의 이산시간 푸리에 변환(DTFT, Discrete Time Fourier Transformation)

이번 글에서는 신호 및 시스템, 디지털 신호 처리를 공부하면서 맨날 보는 신호 중의 하나인 단위 계단 신호 $u[n]$의 푸리에 변환을 구해보도록 하겠습니다. 푸리에 변환의 몇가지 성질을 이용하면 구할 수 있으니 한번 쭉 따라가 보도로고 하죠.      단위 계단(Unit Step)이란? $$u[n] = \begin{cases}1 &n\geq0 \\ 0 &n<0 \end{cases}$$   이제 위 신호의 푸리에 변환을 구해보도록 … Read more

Low pass filter(저역 통과 필터)의 주파수 응답과 Gibbs phenomenon

신호가 있을 때 이 신호는 여러 주파수의 합성이라는 가정이 깔려있다. 이 신호에서 주파수가 낮은 대역의 신호를 추출하고 싶다면 저역 통과 필터(low pass filter)를 사용하면 된다. 이번 글에서는 저역 통과 필터가 무엇인지 알아보고 이것의 특성중 하나인 Gibbs phenomenon을 알아보자.   Low pass filter(저역 통과 필터) 신호에는 다양한 주파수의 신호가 합성되어있다. 특정 주파수 대역의 신호만을 원한다면 저역 … Read more

이산 시간 푸리에 변환(DTFT, Discrete Time Fourier Transform) 의미와 관련 용어 정리

이산 시간 푸리에 변환(DTFT, Discrete Time Fourier Transform)은 신호 x[n]을 주파수 영역의 함수로 변환 하는 함수이다. DTFT를 이용하면 신호가 가진 여러 주파수 중 원하는 주파수만 줄이고 살리고 등을 할 수 있어 굉장히 유용하다. 오늘은 푸리에 변환이 무엇인지 알아보고 푸리에 변환과 관련된 용어들을 정리해보겠다. 이산 시간 푸리에 변환(DTFT, Discrete Time Fourier Transform)의 정의 신호 x[n]의 DTFT … Read more

[디지털 신호 처리]푸리에 변환(Fourier Transformation)의 정의와 의미

신호 $x[n]$을 분석하기 위한 수단으로 푸리에 변환(Fourier Transformation)이 있다. 시간에서 정의된 신호를 주파수의 관점에서 분석하기 위해 푸리에 변환을 사용한다. 이번글에서는 이산 신호$x[n]$에 대하여 푸리에 변환의 정의를 살펴보고 어떤 의미를 가지는지 살펴보도록 한다. 푸리에 변환(Fourier Transformation)의 정의 신호 $x[n]$의 푸리에 변환은 아래와 같이 정의된다. $$X(e^{j\omega}) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] e^{-jk\omega} \tag{1}\label{1}$$ 푸리에 변환의 정의 (\ref{1}) 자체는 어렵지 … Read more

푸리에 변환(Fourier Transform)의 시간 이동(Time Shift)성질

푸리에 변환은 여러모로 쓸모가 많다. 수학적으로는 함수들간의 매핑(mapping)을 의미한다. 신호 및 시스템(signals and system)및 공학분야에서는 시간영역(time domain)의 신호를 주파수영역(frequency domain)에서 해석을 하기 위해서 푸리에 변환(fourier transformation)을 한다. 푸리에 변환을 이용해 해석을 하기 위해서는 푸리에 변환의 계산은 필수적이다. 적분을 해서 푸리에 변환을 하면 되겠지만 푸리에 변환의 몇가지 성질을 이용하면 푸리에 변환을 쉽게 구할 수 있고 해석이 … Read more

Impulse Invariance 설명, 증명 과정

input으로 들어오는 신호 $x_c(t)$가 bandlimited 일 때 continuouse time LTI system을 아래와 같은 시스템으로 표현할 수 있을까? 결론부터 말하면 sampling period $T$를 충분히 크게 하면 가능하다. 그리고 Discrete Time LTI system의 impulse response $h[n]$을 주어진 연속시간 LTI system $h(t)$를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다. $$h[n] = Th_c(nT)\tag{1}\label{1}$$ 이와 같은 결론을 도출하기 위해 [그림 1]과 … Read more

z 변환(z transformation)의 성질 정리

디지털 신호처리에서 z변환은 중요한 역할을 한다고 하는데요. 저는 아직 그 역할은 모릅니다.. 그래도 z변환의 특징들을 나열해보도록 합시다. 출처는 오펜하임책입니다. Sequence Transform ROC(Region of Convergence) $x[n]$ $X(z)$ $R_{x}$ $x_{1}[n]$ $X_{1}(z)$ $R_{x_1}$ $x_{2}[n]$ $X_{2}(z)$ $R_{x_2}$ $ax_1[n] + bx_2[n]$ $aX_1(z) + bX_2(z)$ $R_{x_1}$ 와 $R_{x_2}$의 교집합을 포함하는 영역 $x[n-n_0]$ $z^{-n_0}X(z)$ $R_{x}$에서 원점 혹은 무한대점이 제외 될 수 있음 … Read more

Power Spectral Density(PSD,파워스펙트럼밀도)의 정의와 의미

어떤 랜덤프로세스 $x[n]$에 대하여 power를 정의할 수 있다. 평균적인 의미로써 power는 $E[|x[n]^2|]$로 정의가 된다. 이러한 power를 구하는데 사용될 수 있는 함수가 바로 Power Spectral Density(PSD, 파워스펙트럼밀도)이다. 이번에는 파워스펙트럼 밀도의 정의를 알아보도록 하자. 파워스펙트롬밀도의 정의 랜덤프로세스 $x[n]$이 있다고 하자. 다음을 만족하는 어떤 함수 $P_{xx}(e^{j\omega})$를 랜덤프로세스 $x[n]$의 파워스펙트럼밀도라고 부른다. $$E[|x[n]|^2] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} P_{xx}(e^{j\omega}) d\omega$$ 파워스펙트럼밀도를 이용하여 … Read more

$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \ln\delta(x) dx $ 디랙델타와 로그 디랙델타의 적분

$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \ln\delta(x) dx $을 구해보자. 어떻게 구할 수 있을까? 처음에는  $u = \delta(x), v = \ln \delta(x)$라고 하고 부분적분을 하려고 했다. 그럴려면 $\delta(x)$의 미분 적분을 알아야 되는데, 어렵고. 다른식으로 생각해보자. $\delta(x)$는 probability pdf 라는 사실에 주목해보자. $\delta(x)$의 특징을 보면 $\int \delta(x) dx = 1$ 이고 $x\neq 0$ 일 때 $\delta(x) = 0$. 즉 pdf … Read more

연속 시간 신호에서 Impulse Response 이해하기

Impulse Response의 개념과 의미 시간 불변 시스템에서의 Impulse Response 시스템의 전달 함수와 Impulse Response Impulse Response 계산 방법 Impulse Response의 활용   연속 시간 신호에서 Impulse Response는 시스템이 Dirac 델타 함수(impulse)를 입력으로 받았을 때 출력으로 나타나는 응답을 나타내는 함수입니다. 이 글에서는 연속 시간 신호에서 Impulse Response에 대해 자세히 알아보겠습니다.   Impulse Response의 개념과 의미 Impulse … Read more