complementary transfer functions 에 대해 알아보겠습니다. 디지털 필터뱅크를 만들때 많이 사용되는 개념입니다. 예를들어 아래와 같은 디지털 필터뱅크가 있다고 합시다. Complementary Transfer Functions analysis filter bank와 synthesis filter bank 가 직렬적으로 이어져 있는 시스템이죠. synthesis filter bank 를 어떻게 잡아야 입력신호 $x[n]$과 닮은 친구를 복원할 수 있을까요? Filter $H_k$들로 파헤쳐진 신호들을 다시 모아서 잘 만들기 위해 … Read more
polyphase representation 에 대해 알아보겠습니다. polyphase representation 은 여러 phase로 쪼개서 표현한다고 생각할 수도 있지만요. 그냥 쉽게 생각하면 어떤 신호의 z transform 을 여러개로 쪼개는 작업이라고 보면 되겠습니다. 어떻게 쪼개느냐에 따라 Type 1 polyphase와 Type 2 polyphase로 나뉩니다. Polyphase 유도 신호 $x[n]$이 있다고 합시다. 이것의 Z transform 을 보겠습니다. $$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{n=\infty} x[n] z^{-n} … Read more
안녕하세요. 이번에는 multistage implementation 과 그 응용에 대해 알아보겠습니다. multistage implementation 은 말그대로 여러 시스템의 스테이지로 구성된 것인데요. 이론적으로 하나의 시스템으로 구성할 수 있는 시스템이 있는데 이 시스템을 하나로 표현하려면 현실적으로 어려워서 여러개의 시스템을 이용해 구현하는 것을 Multistage implementation 입니다. Multistage implementation 왜 필요한가? 위의 그림은 multistage implementation은 한 예시입니다. 16 짜리 decimator 를 의미하는데요. … Read more
어떤 현상을 모델링하는 대표적인 방법중 하나가 LTI System(Linear Time Invariant System) 입니다. LTI System(선형시불변 시스템)이라고 가정하면 해석하기도 계산하기도 쉬워지기 때문이죠. 해석하기 쉬워지는 이유중 하나는 LTI System은 Impulse Response $h[n]$에 의해 결정되기 때문입니다. LTI System 의 Impulse Response h[n]의 성질을 이용하면 여러가지를 할 수 있는데 Stable을 판정할 수 있습니다. LTI System의 Impulse Response와 Stable간의 관계 … Read more
시스템이 Causal 하다는 의미를 좀 더 고찰해 보려고 한다. Causal의 의미는 원인이 있어서 출력이 있다는 의미인데 더 깊게 들어가 보면 같은 원인이 있다면 같은 결과가 나온다라는 의미로도 생각이 든다. 과연 그럴까? 모든 시스템에서 그런지는 모르겠고 LTI System에서는 그렇다. LTI System에서 Causal의 또 다른 정의 LTI System 이 있다고 하자. 다음의 조건을 만족하면 LTI System은 Causal이다. … Read more
이번글에서는 랜덤프로세스(랜덤한 신호) $X_t$의 Power Spectral Density의 정의와 의미를 알아보도록 하겠다. PSD에 대해 논하기 전에 WSS(WSS(Wide Sense Stationary)Process 의 정의와 의미)가 무엇인지 Correlation( LTI System(시불변 시스템) 의 Correlation Function 간의 관계와 Fourier Transformation설명) 이 무엇인지 보고오자. 위의 글을 다 보고 왔다면 아래 글을 보자. PSD의 정의 랜덤한 신호 $X_t$가 WSS 일 때 이것의 Correlation Function … Read more
지난번 글에서 입력이 WSS 인 LTI 시스템에서는 입출력이 Jointly WSS가 되어서 Correlation Function 을 시간 간격에만 의존한다는 사실을 알 수 있었다.(Jointly WSS의 예시) LTI System 입출력) 따라서 Correlation Function 을 아래와 같이 시간 간격 $\tau$에 관한 함수로 볼 수 있다. $X_t$,$Y_t$의 Correlation Function $X_t$가 WSS 이고 아래와 같이 $Y_t$는 $X_t$가 LTI 시스템을 거쳐서 나온 프로세스라고 … Read more
지난 글에서는 Jointly WSS가 무엇인지 살펴보았다.(Jointly WSS(Wide Sense Stationary) Process의 정의) 이번 글에서는 Jointly WSS의 예시를 살펴보도록 하자. $X_t$,$Y_t$가 Jointly WSS인 대표적인 경우는 입력이 WSS 인 LTI 시스템인 경우이다. 자세히 살펴보도록 하자. Jointly WSS는 LTI System에서 찾을수 있다. 입력이 WSS $X_t$이고 출력이 $Y_t$인 아래와 같은 LTI System에서 $X_t$와 $Y_t$는 Jointly WSS이다 증명 이 사실을 증명하기 … Read more
주기가 $N$인 이산 신호 $x[n]$의 푸리에 급수(Fourier Series)로 표현 가능 하다. 이산 푸리에 급수 식은 다음과 같다. $$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j\frac{2\pi k}{N} n}$$ $$x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2\pi k}{N} n}$$ $X[k]$가 푸리에 계수임을 강조하기 위해 다음의 기호를 사용한다. $$x[n] \stackrel{DFS}{\longleftrightarrow} X[k]$$ 이산푸리에 급수(Discrete Fourier Series, 이하 DFS로 표현)은 여러가지 성질을 가진다. DFS의 성질 Linearity … Read more
랜덤 프로세스가 WSS(Wide Sense Stationary) 프로세스라는 것의 정의는 이 글(WSS(Wide Sense Stationary)Process 의 정의와 의미)에서 살펴보았다. WSS일 경우 $E[X_{t+\tau}X_t]$가 두 시점의 차이인 $\tau$에만 의존하는 성질이 있다. 그래서 WSS 프로세스인 $X_t$에 대해서는 시간의 차이에만 의존하는 Correlation 함수 $R_{X}(\tau) = E[X_{\tau+t} X_t]$를 정의할 수 있다. 여기서 궁금해지는 것이 랜덤 프로세스 $X_t$와 $Y_t$의 Correlation 함수를 정의할 수 있지 … Read more