미분적분학

지수함수의 극한 을 증명하겠다. 근데 딱히 엄밀하진 않다. e는 오일러 상수로써 아래와 같이 정의된다.(오일러 상수의 정의)  이 사실을 이용하여 증명해보겠다. 증명

지수함수 의 정의에 대해 알아봅시다. 지수함수 에 대해 알기 위해서는 오일러 상수 에 대해 알아야 한다. 오일러 상수 (Euler number) e 의 정의 위의 글을 보고 왔다면 이제 지수함수 를 정의하자. 지수함수 의 정의 지수함수 는 아래와 같이 정의된다. 사실 이것은 엄밀한 정의는 아니지만 그래도 써보자.

함수 $f(x)$가 있다고 합시다. 때때로 함수 $f(x)$의 $x=a$에서 미분을 구하려고 합니다. 과연 미분은 어떻게 정의될까요? 미분을 정의하는 방법에는 여러가지가 있습니다. 가장 기본적으로  극한으로 정의하는 방법이 있습니다. 그런데, 미분의 원래 정의를 이용하면 이것저것 증명하는데에 있어서 불편함이 있습니다. 따라서 저는 미분에 대한 정의를 어떤 함수에 대해 정의해보겠습니다.   미분에 대한 또다른 정의 함수 $f(x)$가 있다고 합시다. 함수 … Read more

공학을 하건 수학을 하건 과학을 하건 로그함수는 굉장히 자주 만나는 함수이다. 로그 함수의 극한과 미분등은 알아두면 있으면 유용하게 사용된다. 이번에는 $\ln(x)$의 미분을 유도해보도록 하겠다.   $\ln(x)$의 미분 $$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}$$   유도과정 $$\begin{align} \frac{d}{dx}\ln(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h) – \ln(x)}{h} \\ &=\lim_{h \to 0} \frac{\ln\left(1+h/x\right)^{(x/h)}}{x} &=\frac{1}{x}  \end{align} 두번째 줄에서 세번째 줄 넘어갈때 $\lim_{h\to … Read more

안녕하세요. 지수함수 $e^x$는 뭔가를 계산할때 많이 나오는 녀석이고 굉장히 중요합니다. 이런 중요한 지수함수의 성질을 몇가지 알아두면 수학공부할때 편해집니다. 이번글에서는 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}$의 값을 구해보도록 할게요. ! 결론부터 볼께요    $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}$값 $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}=1\tag{1}\label{1}$$ 증명과정 $y=e^x – 1$치환할게요. 그러면 수식변형을 통해 $x = \ln(1+y)$임을 알수 있죠. 그리고 $x \to 0$일때 $y … Read more

수학에는 많은 상수들이 있다. 특정상수들은 특별한 기호를 사용해서 표현한다. 특별한 기호를 사용해 표현하는 이유는 특별한 기호를 붙힐만큼 의미가 있기 때문이다. 이번에는 수학에 나오는 상수중에서 중요한 오일러 상수의 정의에 대해 알아보게습니다. 오일러 상수 e의 정의 $$e = \lim_{x \to 0 } (1+x)^{\frac{1}{x}}$$ 정의 자체는 굉장히 간단한 것을 알 수 있습니다. $x$가 0이 갈 때 $t =1/x$는 … Read more

미분 가능한 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 있다고 합시다. 이 두함수의 곱 $f(x)g(x)$를 생각합시다. $f(x)g(x)$의 미분은 무엇일까요? 이번 글에서는 두 함수의 곱으로 이루어진 함수 $f(x)g(x)$의 미분법인 곱의 미분법에 대해 알아보겠습니다. 그리고 곱의 미분법을 증명하는 방법까지 알아보도록 하겠습니다. 곱의 미분법 $f(x)g(x)$의 미분은? 미분가능한 두함수 $f(x)$와 $g(x)$가 있다고 합시다. $f(x)g(x)$의 미분은 어떻게 될까요? 결론부터 말하면 아래와 같이 나옵니다. $$[(f(x)g(x))]^\prime = f^\prime (x) g(x) + f(x) g^\prime(x)$$ … Read more

크로네커 델타 (Kronecker delta)에 대해 알아보겠습니다. 크로네커 델타는 계산을 할 때 큰 도움을 주는 친구입니다. 물론 물리적으로도 의미가 있지만 계산을 할 때 좋죠. 이번 글에서는 크로네커 델타의 정의 및 성질을 알아보도록 하겠습니다. 크로네커 델타 (Kronecker delta) 크로네커 델타는 정수집합 $\mathbf{Z}$에서 정의된 함수입니다. 기호로는 $\delta[n]$라고 씁니다. 아래와 같은 값을 갖는 함수 입니다. $$ \delta[n]= \begin{cases} 1, &\text{ if } n =0\\ 0, &\text{ if } n \neq 0 \end{cases} $$ $n=0$에서만 값을 $\delta[0]=1$을 갖고 나머지 $n$에 대해서는 $\delta[n]=0$인 함수입니다. 크로네커 델타의 성질 크로네커 델타의 성질중 핵심 성질을 아래와 같이 세개로 정리할 수 있습니다. 1. $\sum_{n=-\infty}^\infty \delta [n] =1 $ 2. $f[n]$가 정수에서 정의된 함수일 때, $\delta[n]f[n] = \delta[n] f[0]$ 3. $\sum_{n=-\infty} ^\infty \delta[n]f[n] = f[0]$ (1의 증명) $\delta[n]$은 $n=0$일 때만 값을 $\delta[0]=1$로 갖고 나머지 $n$에선 $\delta[n]=0$이므로 당연합니다. (2의 증명) $n=0$일 때 $\delta[n]f[n]=\delta[0]f[0]$ $n\neq 0$일 때 $\delta[n]f[n]=0 \times f[n] = 0 $ 이고 $\delta[n] f[0] = 0 \times f[0] =0$ 따라서 증명 완료 (3의 증명) 1번과 같은 이유로 증명 크로네커 델타의 응용 크로네커 델타를 응용하면 계산할 때 유용합니다. 한가지 예시만 보여드리겠습니다. $$\sum_{n=0}^K \delta[n-k]f[n]= ?$$ 위의 식에서 $m=n-k$로 치환 하면 아래와 같은 식으로 바꿀 수 있어요. $$\sum_{m=-k}^{K-k} \delta[m]f[m+k]$$ 여기서 indicator function(Indicator function (지시함수)의 정의와 응용, 주의사항) 을 이용하면 아래와 같이 표현할 수 있답니다. $$\sum_{m=-k}^{K-k} \delta[m]f[m+k] = \sum_{m=-\infty}^\infty \delta[m] f[m+k] \mathbf{1}_{\{-k,-k+1,…,K \}}[m]$$ 따라서 위에서 설명한 3번째 성질에 의해 아래와 같은 식이 만들어집니다. $$\sum_{m=-\infty}^\infty \delta[m] f[m+k] \mathbf{1}_{\{-k,-k+1,…,K \}}[m] = f[k] \mathbf{1}_{\{-k,-k+1,…,K \}}[k] $$ 여기서 $k \leq K$라면 $$\sum_{n=0}^K \delta[n-k]f[n]= f[k]$$이고 $k > K$라면 $\sum_{n=0}^K \delta[n-k]f[n]= 0$ 라는 것을 알 수 있습니다.

삼각함수 $\cos x$미분 해보도록 하겠습니다. 그리고 $\cos x$미분을 구하는 방식을 증명해보겠습니다. 그 방법은 쉽습니다. 여러분들도 따라오시면 삼각함수 $\cos x $미분 금방 익히실 수 있어요. 삼각함수 $\cos x $미분 결론부터 말하면 $\cos x$를 미분하면 아래와 같이 $-\sin x$가 나옵니다. $$ (\cos x)^\prime = – \sin x$$ 삼각함수 $\cos x$의 미분 증명 삼각함수 $\cos x$와 $\sin x$의 … Read more

안녕하세요. 삼각함수 $\sin x$ 미분 방법에 대해 알아보겠습니다. 삼각함수 $\sin x $의 미분과 미분을 하는 증명 방법에 대해 알려드리겠습니다. 생각보다 쉬워요. 여러분들 삼각함수 $\sin x $ 미분 한번 쭉 가보겠습니다. 감사합니다. lim sin의 값과 연과있습니다. 삼각함수 $\sin x$ 미분과 미분의 증명 이제 차차 알아보겠습니다. $\sin x$ 의 미분 결론부터 말하면 $\sin x $의 미분은 $\cos … Read more