곱의 미분법 f(x)g(x) 미분 하는 방법, 증명

미분 가능한 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 있다고 합시다. 이 두함수의 곱 $f(x)g(x)$를 생각합시다. $f(x)g(x)$의 미분은 무엇일까요? 이번 글에서는 두 함수의 곱으로 이루어진 함수 $f(x)g(x)$의 미분법인 곱의 미분법에 대해 알아보겠습니다. 그리고 곱의 미분법을 증명하는 방법까지 알아보도록 하겠습니다. 곱의 미분법 $f(x)g(x)$의 미분은? 미분가능한 두함수 $f(x)$와 $g(x)$가 있다고 합시다. $f(x)g(x)$의 미분은 어떻게 될까요? 결론부터 말하면 아래와 같이 나옵니다. $$[(f(x)g(x))]^\prime = f^\prime (x) g(x) + f(x) g^\prime(x)$$ … Read more

Kronecker delta(크로네커 델타) 함수 정의와 응용

크로네커 델타 (Kronecker delta)에 대해 알아보겠습니다. 크로네커 델타는 계산을 할 때 큰 도움을 주는 친구입니다. 물론 물리적으로도 의미가 있지만 계산을 할 때 좋죠. 이번 글에서는 크로네커 델타의 정의 및 성질을 알아보도록 하겠습니다. 크로네커 델타 (Kronecker delta) 크로네커 델타는 정수집합 $\mathbf{Z}$에서 정의된 함수입니다. 기호로는 $\delta[n]$라고 씁니다. 아래와 같은 값을 갖는 함수 입니다. $$ \delta[n]= \begin{cases} 1, &\text{ if } n =0\\ 0, &\text{ if } n \neq 0 \end{cases} $$ $n=0$에서만 값을 $\delta[0]=1$을 갖고 나머지 $n$에 대해서는 $\delta[n]=0$인 함수입니다. 크로네커 델타의 성질 크로네커 델타의 성질중 핵심 성질을 아래와 같이 세개로 정리할 수 있습니다. 1. $\sum_{n=-\infty}^\infty \delta [n] =1 $ 2. $f[n]$가 정수에서 정의된 함수일 때, $\delta[n]f[n] = \delta[n] f[0]$ 3. $\sum_{n=-\infty} ^\infty \delta[n]f[n] = f[0]$ (1의 증명) $\delta[n]$은 $n=0$일 때만 값을 $\delta[0]=1$로 갖고 나머지 $n$에선 $\delta[n]=0$이므로 당연합니다. (2의 증명) $n=0$일 때 $\delta[n]f[n]=\delta[0]f[0]$ $n\neq 0$일 때 $\delta[n]f[n]=0 \times f[n] = 0 $ 이고 $\delta[n] f[0] = 0 \times f[0] =0$ 따라서 증명 완료 (3의 증명) 1번과 같은 이유로 증명 크로네커 델타의 응용 크로네커 델타를 응용하면 계산할 때 유용합니다. 한가지 예시만 보여드리겠습니다. $$\sum_{n=0}^K \delta[n-k]f[n]= ?$$ 위의 식에서 $m=n-k$로 치환 하면 아래와 같은 식으로 바꿀 수 있어요. $$\sum_{m=-k}^{K-k} \delta[m]f[m+k]$$ 여기서 indicator function(Indicator function (지시함수)의 정의와 응용, 주의사항) 을 이용하면 아래와 같이 표현할 수 있답니다. $$\sum_{m=-k}^{K-k} \delta[m]f[m+k] = \sum_{m=-\infty}^\infty \delta[m] f[m+k] \mathbf{1}_{\{-k,-k+1,…,K \}}[m]$$ 따라서 위에서 설명한 3번째 성질에 의해 아래와 같은 식이 만들어집니다. $$\sum_{m=-\infty}^\infty \delta[m] f[m+k] \mathbf{1}_{\{-k,-k+1,…,K \}}[m] = f[k] \mathbf{1}_{\{-k,-k+1,…,K \}}[k] $$ 여기서 $k \leq K$라면 $$\sum_{n=0}^K \delta[n-k]f[n]= f[k]$$이고 $k > K$라면 $\sum_{n=0}^K \delta[n-k]f[n]= 0$ 라는 것을 알 수 있습니다.

삼각함수 cosx 미분 및 증명

삼각함수 $\cos x$미분 해보도록 하겠습니다. 그리고 $\cos x$미분을 구하는 방식을 증명해보겠습니다. 그 방법은 쉽습니다. 여러분들도 따라오시면 삼각함수 $\cos x $미분 금방 익히실 수 있어요. 삼각함수 $\cos x $미분 결론부터 말하면 $\cos x$를 미분하면 아래와 같이 $-\sin x$가 나옵니다. $$ (\cos x)^\prime = – \sin x$$ 삼각함수 $\cos x$의 미분 증명 삼각함수 $\cos x$와 $\sin x$의 … Read more

삼각함수 sinx 미분과 미분의 증명

안녕하세요. 삼각함수 $\sin x$ 미분 방법에 대해 알아보겠습니다. 삼각함수 $\sin x $의 미분과 미분을 하는 증명 방법에 대해 알려드리겠습니다. 생각보다 쉬워요. 여러분들 삼각함수 $\sin x $ 미분 한번 쭉 가보겠습니다. 감사합니다. lim sin의 값과 연과있습니다. 삼각함수 $\sin x$ 미분과 미분의 증명 이제 차차 알아보겠습니다. $\sin x$ 의 미분 결론부터 말하면 $\sin x $의 미분은 $\cos … Read more

합성 함수 미분법(Chain Rule)에 대해 알아보자구요!

합성함수 미분법 합성 함수 미분법(Chain Rule)은 미적분학에 있는 개념으로 중요합니다. 이번 글에서는 합성 함수 미분법에 대해 자세히 소개해 드리겟습니다. 합성 함수 미분법이란? 합성 함수 미분법이란, 합성함수의 미분값을 구하는 방법입니다. 합성 함수의 미분값구하기 위해 연쇄 법칙(Chain Rule)을 적용합니다.  함수 y = f(g(x))의 미분은 연쇄법칙에 따라 다음과 같이 계산할 수 잇습니다.  $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$$  위 … Read more

그라디언트(gradient)의 정의와 의미

그라디언트(gradient)는 참 많이도 나옵니다. 다변수 미적분을 할 때 꼭 만나게 되는 용어이죠. 요즘에는 딥러닝을 공부하는 사람이 많이 생기면서 딥러닝의 주요알고리즘 경사하강법(gradient descent method)을 공부하는 사람이 많이 생겼습니다. 경사하강법을 이해하기 위해서는 gradient를 이해하는 것이 필수 인데요. gradient는 과연 무엇일까요? 이 글에서 살펴보실 수 있습니다. 그라디언트(gradient)의 정의 함수 $f:\mathbf{R}^n \to \mathbf{R}$이 있다고 합시다. 이 함수 $f$의 gradient를 … Read more

스칼라(scalar)를 행렬(matrix)로 미분 하는 방법

지나 글(스칼라(scalar)를 벡터(vector)로 미분 하는 방법) 에서 스칼라를 벡터로 미분하는 방법에 대해 알게되었다. 이번에는 이것을 확장해서 스칼라(scalar)를 행렬(matrix)로 미분 하는 방법에 대해 알아보자. 이 방법은 [1]에 잘 나와있어서 이것을 정리하였다. 스칼라에서 행렬로 가는 함수 미분 $f: \mathbf{R}^n \times \mathbf{R}^m \to \mathbf{R}$함수를 생각하자. 이 함수의 입력값은 $n \times m$ 크기를 갖는 행렬이다. 행렬 $X$에 대한 미분은 … Read more

벡터(vector)를 벡터(vector)로 미분 하는 방법

지난 글 (스칼라(scalar)를 벡터(vector)로 미분 하는 방법)에서 스칼라를 벡터로 미분하는 방법에 대해 알아보았다. 여기서 생각을 확장해서 벡터를 벡터로 미분하는 방법에 대해 보자. 벡터에서 벡터로 미분하는 방법은 [1]에 설명되어있는데 내 식대로 정리를 해보겠다. 지난 글 (스칼라(scalar)를 벡터(vector)로 미분 하는 방법)에서 부족했던 스칼라를 벡터로 미분했을 때의 값의 모양에 대해 먼저 살펴보고 벡터를 벡터로 미분한 결과에 대해 살펴보자. … Read more

스칼라(scalar)를 벡터(vector)로 미분 하는 방법

정의역이 스칼라이고 출력값이 스칼라인 함수에 대해서는 미분이 잘 정의되었다. 아마 익숙할것이다. 그런데! 정의역이 n차원이고 출력값이 스칼라인 함수 $f: \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}$의 미분은 어떻게 해야할까? $f$의 입력값인 $\mathbb{x}$는 벡터이기 때문에 주의가 필요하다. [1]을 보고 스칼라(scalar)를 벡터(vector)로 미분하는 방법을 정리 해봤다. [1]에서 본 스칼라를 벡터로 미분하는 방법과 예시를 살펴보도록 하겠다. 스칼라(scalar)를 벡터(vector)로 미분하는 기호 $f : \mathbf{R}^n … Read more

유리함수 1/x 미분은? 미분 증명

유리함수 $1/x$의 미분은 어떻게 될까요? 아주 기본적인 함수인데요. 기본적인 함수이니 만큼 미분을 구해보도록 하겠습니다. 이번 글에서는 함수 $1/x$의 미분에 대해 알아보고 $1/x$의 미분증명방법에 대해 알아보겠습니다. 유리함수 $1/x$의 미분 $$ (1/x)^\prime = – 1/x^2$$ 유리함수 $1/x$의 미분 증명 $ (1/x)^\prime = – 1/x^2$ 임을 보이기 위해 아래의 극한을 구해야 되죠. $$\lim_{h\to 0 } \frac{ 1/(x+h)- 1/x}{h} … Read more