Hyperbolic geometry and its application
Poincaré ball위에서 Möbius addition에 대해 알아보자. Poincaré ball 이 있다고 하자. 는 curvature를 뜻한다. 일 때 이것의 덧셈은 아래와 같이 정의한다. 출처 – O. Ganea, G. Becigneul, and T. Hofmann, “Hyperbolic neural networks,” in Proc. Adv. Neural Inf. Process. Syst., 2018, pp. 5345–5355.
Manifold위에서 만나는 두 curve 사이의 내적 정의해보자. Manifold 이 있다고 하자. 위의 두 곡선 가 있고 라 하자. 그러면 에서 두 curve의 내적을 정의하자. 아래와 같이 정의할 수 있다.
Manifold $\sigma: U \to M $ 가 있다고 하자. 이 위에 곡선 (curve) $\gamma : [a,b] \to M $가 있다고 하자. curve의 미분을 구해보자. chain rule에 의하여 $$\gamma \prime(t) = \sum_{i} \sigma_{u_i} \frac{du_i}{dt} $$
manifold위에서 두 curve가 만나는 점에서의 각도 (angle)에 대해 알아보자. manifold 가 있다고 하자. 이 manifold위에 곡선 가 있다고 하자. 이 두 곡선은 즉 에서 만난다고 하자. 그러면 이 만나는 위에서 교차할테고 각도 가 생기는 이 에 대한 cosine은 아래와 같이 정의한다.
Interspeech 2025 후기 및 논문 공유 Generalizable Audio Deepfake Detection via Hierarchical Structure Learning and Feature Whitening in Poincaré sphere 이성규_interspeech2025_report_20250905
Manifold 위에서 곡선 (curve)에 대해 알아보자. manifold 이 함수 에 의해 정의되었다고 하자. 곡선은 어떻게 정의될까? 두가지 방식이 있다. 첫번째는 형태로 정의하는 방법이 있다. 두번째는 를 먼저 정의하고 를 정의하는 방법이 있다. 그런데, 첫번째의 경우도 있다고 가정해서 형태로 쓰기도 한다. 이상이다.
manifold위의 curve의 길이 (length)와 riemannian metric간의 관계에 대해 알아보자. manifold 가 있고 이것의 riemannain metric 가 있다고 하자. 의 원소 는 라고 표현하자. 그러면 이제 시작하자. 위의 곡선 이 있다고 하자. 그러면 이것의 길이는 아래와 같이 표현된다( Manifold 위에서 곡선 (curve)의 길이 (length) ). 이므로 ( Manifold에 대해서 Riemannian metric이란? )이므로 이고
Manifold 위에서 곡선 (curve)의 길이 (length)에 대해 알아보자. manifold 이 에 의해 표현된다고 하자. 이라 하자. 위의 곡선 이 있다고 하자. 의 길이는 아래와 같이 정의한다.
Manifold ( Manifold의 아주 간단한 정의 ) 이 있다고 하자. 그러면 과 적당한 mapping 이 있다. 에 대한 Riemmanian metric을 정의하자. 기호로는 이라 쓰며 행렬로 정의된다. 각각의 원소는 아래와 같이 정의된다. 다음글에서는 Riemannian metric이 어떤 역할을 하는지 보자.
Manifold의 아주 간단한 정의에 대해 알아보자. 이라 하자. 라고 하자. 아주 잘 정의된 1:1 함수 이 있다고 하자. 그러면 M을 manifold라 부른다. 이러한 disjoing manifold의 union도 manifold라 부른다. 다음엔 manifold 위에서 곡선과 볼륨을 생각하자.