Path measure의 의미
continuous function의 모음 가 있다고 하자. 쉽게 이라 하자. 위에 sigma algebra가 정의 가능하다. 그리고 그러면 C위의 probability measure를 정의 할 수 있다. 에 대해서 정의된 probability measure를 path measure라고 부른다.
continuous function의 모음 가 있다고 하자. 쉽게 이라 하자. 위에 sigma algebra가 정의 가능하다. 그리고 그러면 C위의 probability measure를 정의 할 수 있다. 에 대해서 정의된 probability measure를 path measure라고 부른다.
Unitary matrix의 정의에 대해 알아보자. 행렬 가 있다. 행렬 의 요소는 복소수로 구성되어있다. 를 복소수의 conjugate라고 표시하고 를 transpose라고 정의하겠다. 그러면 를 unitary matrix 라고 말한다.
입니다.왜일까요? 를 생각해봅시다. 는 를 x축의 – 방향으로 이동시킨것이지요. 그러니까 쉽게 구할 수 있습니다.이렇게 안하고 원을 그려서 생각할 수도 있어요.
삼각함수 사인함수 sin 합차 공식에 대해 알아보자. sin(A+B)는 어떻게 될까? 결론부터 알아보자.
실수에서 정의된 실수열 이 로 수렴한다고 하자. 그러면 는 cauchy sequence이다. 왜일까? 수렴하는 수열이 코시수열인 이유 증명 앞에서 언급한대로 실수열 이 로 수렴한다고 하자. 이 때 이 코시수열임을 보일것이다. 수렴하는 수열의 특징 임의의 양수 이 있다고 하자. 은 로 수렴하기 때문에 다음을 만족하는 자연수 존재한다. 일 때 마다 코시수열임을 증명 그러면 일 때마다 따라서 수열 … Read more
By extending the map in Q6 to $\mathbb{C}$, show that $P^1(\mathbb{C}) \cong \mathbb{C} \cup \{ \infty \}\cong S^2$. sol) Similarly to $Q6$, Let define $\theta : P^1 (\mathbb{C}) \to \mathbb{C} \cup \{ \infty \}$ such that $\theta([x,y]) = x/y$ for $y\neq 0$ and $\theta([x,0]) = \infty$. In the same way it can be shown that … Read more
Let $A$ be the set of all continuous functions $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ and let $$d_2(f,g) = \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^2 dx\right)^{1/2}$$ Show that $d_2$ gives a metric. \noindent sol) First show that Cauchy-Schwartz inequality. Let $f,g \in A$. Let $h(t) = \int_a^b (tf(x)+g(x))^2 dx$. Then $h(t) \geq 0$ for all $t \in \mathbb{R}$. $h(t) = (\int_a^b … Read more
실수열 가 있다고 하자. 수열 이 cauchy sequence라는 것의 의미를 보자. cauchy sequence는 아래와 같이 정의 된다. For all , there exists such that for all ,
Show that every isometry of $\mathbb{R}^n$ is an affine map. sol) $f$ has a form $f(x) = Ax +b $. Let $x_1,x_2 \in \mathbb{R}^n$ and $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$ such that $c_1+c_2=1$. $f(c_1x_1+c_2x_2)=A(c_1x_1+c_2x_2)+b= A(c_1x_1)+A(c_2x_2)+(c_1+c_2)b=c_1Ax_1+c_1b+c_2Ax_2+c_2b=c_1f(x_1)+c_2f(x_2)$. 출처- 기하학1 (GIST-강현석교수님 강의) Homework 1 문제 중 일부
Prove the following lemma: Lemma 0.3 Let $(\mathbb{R}^n,d)$ be a metric space. If $\{a_0,…,a_n\}$ and $\{b_0,…,b_n\}$ are affinely independent in $\mathbb{R}^n$ with $d(a_i,a_j)=d(b_i,b_j)$ for $0\leq i, j \leq n$, then there exists the unique isometry $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n $ s.t. $f(a_i)=b_i$ for all $i=0,…,n$ sol) Since $\{a_i-a_0 : i=1,2,…,n\}$ and $\{b_i-b_0 : i =1,2,…n\}$ … Read more