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이번 글에서는 오일러 상수 혹은 Euler number라 불리는 e를 정의하겠다. 정의자체는 간단하다.   Euler number 무리수 e의 정의 Euler number는 어떤 함수의 극한으로써 정의된다. 아래와 같이 말이다.

우리가 일상에서 접하는 다양한 문제들은 종종 복잡하고 얽힌 구조를 가지고 있습니다. 하지만 수학은 이런 복잡성 속에서도 간결한 질서와 패턴을 발견할 수 있는 훌륭한 도구입니다. 최근 연구들은 특히 그래프 이론을 통해 어떻게 지역적 특성들이 전체 구조를 결정할 수 있는지를 보여줍니다. 이 블로그 글에서는 이러한 수학적 발견과 그 의미에 대해 탐구해보겠습니다. 그래프 이론의 기본 그래프 이론은 정점(vertex)과 … Read more

부천 국제 판타스틱 영화제(BiFan)는 아시아 최대의 장르 영화제입니다. 매년 부천시에서 개최되는 이 영화제는 판타스틱 장르의 영화를 전시하며, 국내외 영화 팬들에게 큰 관심을 받고 있습니다. BiFan의 역사와 중요성 1997년에 시작된 BiFan은 부산 국제 영화제, 전주 국제 영화제와 함께 한국의 3대 국제 영화제 중 하나로 자리매김했습니다. 공포, 스릴러, SF 등 다양한 장르의 영화가 상영되며, 유럽판타지영화제연합의 준회원으로도 활동하고 … Read more

확률변수가 X,Y 두개가 있다고 하자. 하나의 확률변수가 주어졌을 때 다른 하나의 확률변수의 확률질량함수와 확률밀도함수인 조건부확률밀도함수와 조건부확률질량함수의 정의와 의미)를 구할 수 있다. 이렇게 조건부확률질량함수와 조건부확률밀도함수는 확률질량함수와 확률밀도함수와 같은 역할을 한다. 확률질량/밀도를 이용해 기대값을 정의하듯 조건부확률질량/밀도를 이용하여 조건부 기대값을 정의할 수 있다.    조건부 기대값(Conditional Expectation) X,Y 가 확률변수 일 때, Y가 주어질 때 X의 기대값이 조건부 … Read more

해석학은 극한을 다루는 학문이라고 볼 수 있습니다. (내 생각) 극한을 다루기 위한 대상에는 여러가지가 잇는데요. 가장 쉽게 생각할 수 있는 것이 바로 수열(sequence)입니다. sequence에 대한 극한을 다루기 전에, 수열의 한 종류인 유계 수열에 대해 보도록 하겠습니다. 유계수열의 의미 (bounded sequence) 유계수열이 무엇인지 알아보겠습니다. 유계수열이 무엇인지 알기 전에 유계집합에 대해 먼저 알아보시면 좋을 것 같습니다.  bounded의 정의를 … Read more

수리통계나 적응신호처리 등에서 나오는 평균제곱 오차에 대해 알아보도록 하겠습니다. 어떤 것을 추정하려고 할 때, 추정하려고자 하는 값과 나의 추정치가 어느 정도의 차이가 있는지 측정하기 위하여 평균제곱오차를 사용합니다. 아래의 글을 보면서 자세히 알아보도록 하죠.   평균제곱오차 (Mean Squared Error, MSE) 내가 추정하고 하는 parameter $\theta$가 있다고 가정합시다. random variable $x_1,x_2,..,x_n$을 이용해 $\theta$를 추정합니다. $\theta$를 추정하기 위하여 … Read more

조건부 독립의 정의 확률변수 X,Y는 Z가 주어질 때 독립이면 X,Y는 조건부 독립이라고 한다. $$p(x,y|z) = p(x|z)p(y|z)$$ 왜 조건부 독립일까? 확률변수 X,Y,Z 라고 하자. X가 가질 수 있는 값은 10개이고 Y가 가질 수 있는 값 또한 10개이다. Z가 가질 수 있는 값은 2개 뿐이다. 이제 Z가 주어질 때의 X,Y의 결합 확률분포를 따져보도록 하자. 확률밀도함수나 확률질량함수를 구해야 … Read more

시그모이드 함수의 미분에 대해 알아보자. 시그모이드 함수의 미분을 구해보고 예쁜꼴로 나타내보도록 하겠습니다. 시그모이드 함수가 무엇인지 아실 것이라고 봅니다. 시그모이드 (Sigmoid) 함수? 시그모이드 함수는 아래의 함수입니다. 시그마 $\sigma$ 기호를 써서 표현합니다. $$\sigma(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$$ 시그모이드 (Sigmoid) 함수의 미분 $$\frac{d\sigma(x)}{dx} = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$$ 위와 미분해도 충분하다고 생각할 수 있습니다. 그런데! 좀더 생각을 해보면 시그모이드 함수의 미분을 아래와 같이 시그모이드를 … Read more

noble identites에 대해 알아보겠습니다. identity 몇가지를 제시하겠습니다. 아래에 보게될 identity 를 noble identity 라고 합니다. decimation 과 expanding 할때 유용한 식입니다. 이제 하나씩 보도록 하겠습니다. Noble identites decimation 에 대하여 (identity 1) 신호 $x[n]$이 있다고 합시다. 이것을 $M$만큼 decimation 하고 필터 $G(z)$를 지난다고 합시다. 이것과 같은 식은 무엇일까요? $G(z^M)$을 지나고 $M$만큼 decimation 하는 것이 동일합니다. … Read more

 이산시간 푸리에변환 (DTFT Discrete Time Fourier Transform)에 대해서 알아보겠습니다. discrete time signal (이산시간신호) $x[n]$를 주파수 영역에서 분석하기 위해서 신호 $x[n]$을 $n$에 대한 함수가 아닌 주파수에 대한 함수로 변환하기 위해 DTFT 를 사용합니다. 이산시간 푸리에변환 DTFT (Discrete Time Fourier Transform)의 정의 이산 시간 신호 $x[n]$에 대하여 DTFT는 아래와 같이 정의됩니다. $$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n] e^{-j\omega n}$$ … Read more