condition이 있을 때 Brownian motion의 log probability density function의 미분에 대해 알아보자. 아래 글 부터 읽고 오자
condition이 있을 때 Brownian motion의 log probability density function
x_t 가 variance가 \sigma^2 인 Brownian motion이라고 하자. 그리고 s_1 < s_2 라고 하자. x_{s_1} 가 주어질 때 x_{s_2} 의 log probability density function은 아래와 같다.
\log p_{s_1 s_2}(x_{s_2}|x_{s_1})= \log \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2 (s_2-s_1)}} -\left( - \frac{(x_{s_2}-x_{s_1})^2}{2 \sigma^2 (s_2-s_1)}\right)위의 식을 x_{s_1} , x_{s_2} 각각에 대해 미분하면 아래와 같이 된다.
\nabla_{x_{s_1}}\log p_{s_1 s_2} (x_{s_2} | x_{s_1}) =\frac{x_{s_2}-x_{s_1}}{2\sigma^2(s_2-s_1)} \nabla_{x_{s_2}}\log p_{s_1 s_2} (x_{s_2} | x_{s_1}) =\frac{-x_{s_2}+x_{s_1}}{2\sigma^2(s_2-s_1)}