condition이 있을 때 Brownian motion의 log probability density function에 대해 알아보자. 읽기전에 아래 글을 보고 오는 것을 추천한다.
시작점 condition이 있을 때 Brownian motion의 probability density function (pdf)
x_t 가 variance가 \sigma^2 이 Brownian motion일 때 s_1<s_2 일 때 아래와 같이 conditional probability density function이 나온다.
p_{s_1 s_2 } (x_{s_2} | x_{s_1}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2 (s_2-s_1)}} \exp\left( - \frac{(x_{s_2}-x_{s_1})^2}{2 \sigma^2 (s_2-s_1)}\right)위의 식에다 log를 붙혀주자.
\log p_{s_1 s_2}(x_{s_2}|x_{s_1})= \log \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2 (s_2-s_1)}} -\left( - \frac{(x_{s_2}-x_{s_1})^2}{2 \sigma^2 (s_2-s_1)}\right)