실수 1차원 공간에서 Brownian motion x_t 가 있다고 하자. variance를 나타내기 위해 특별히 아래와 같이 SDE 형태로 표현하자.
dx_t = \sigma dw_t \tag{1}위에서 w_t 는 variance가 1인 Brownian motion을 의미한다. 그리고 s_1 < s_2 라고 하자. 이 때 x_{s_1} 이 주어질 때 x_{s_2} 는 어떤지 보자.
식 (1)에 의해 x_{s_2} 는 아래와 같이 표현된다.
x_{s_2} = x_{s_1} + \sigma (w_{s_2}-w_{s_1})w_t 의 성질에 따라 아래의 x_{s_2} 는 가우시안 분포를 따른다.
x_{s_2} \sim \mathcal{N} (x_{s_1}, \sigma^2 (s_2 - s_1)