Conditioned Diffusion Process 에 대해 알아보려고 합니다. Conditioned Diffusion Process 는 조건화된 확산 과정 정도로 해석 할 수 있습니다. 조건화된이라는 말에서 알 수 있듯이 어떤 조건이 주어졌을 때 Diffusion Process 를 표현하는 방법이라고 볼 수 있습니다. 이 글에서는 Conditioned Diffusion Process (조건화된 확산 과정)이 무엇인지 알아보겠습니다.
Conditioned Diffusion Process (조건화된 확산 과정)에 대해 알아보기
앞서 설명드렸듯 이 글은 Conditioned Diffusion Process에 관한 글입니다. 이 글을 읽으시면 Diffusion Process 가 무엇인지 복습하실 수 있고, Conditioned Diffusion Process를 이해하기 위한 관측치라는 개념을 알 수 있습니다. 그리고 대망의! Conditioned Diffusion Process (조건화된 확산 과정)에 대해 알 수 있습니다.
Diffusion Process (확산 과정)
Diffusion Process에 대해 알아보겠습니다. Diffusion Process는 보통 Ito Diffusion (이토 확산)으로 표현됩니다. 이토 확산에 대해서는 영상과 글을 참고 해 주시길 바랍니다. 읽고 오셨다면 Diffusion Process (확산 과정)에 대해 설명드리겠습니다. 확산 과정은 아래의 Stochastic Differential Equation(Stochastic Differential Equation 에 대한 글과 영상) 으로 표현되는 어떤 dynamics \{X_t)_{0\leq t \leq T} 를 말합니다.
dX_t = b(X_t) dt + \sigma(X_t) dB_t \tag{1}t 의 값은 [0,T] 로 제한하였습니다.
관측치와 실제 Diffusion Process (확산 과정)
위의 식 (1)에 대한 설명을 마쳤고 식 (1)과 관련있는 어떤 Random Vector를 Y_T 를 정의하겠습니다. 이 Y_T 는 Diffusion Process X_t 의 관측치라고 해석할 수 있는데요. Likelihood function g(y,x) = \mathbf{P}( Y_T = y \mid X_T = x) 에 의해 결정됩니다. 즉 Diffusion Process (1)의 끝점 X_T 에 대한 정보가 담겨 있는 수치 입니다.
Conditioned Diffusion Process (조건화된 확산 과정)의 정의
그러면 여기서 한번 생각을 해볼게요. 만약에 시간 t=T 에서 Y_T = y 가 관찰되었다 합시다. 그러면 X_t 는 어떻게 표현할 수 있을까요? Y_T = y 라는 조건하에 X_t 의 변화는 아래의 꼴로 표현됩니다.
dX_t = a(X_t,y,t)dt + \sigma(X_t) dt \tag{2}식 (2) 는 (1)에서의 같은 diffusion term을 갖습니다. 즉 확산되는 정도는 같은데요. dt 앞에 붙는 drift term 이 달라지는 것을 확인할 수 있습니다. 식 (1) 에서는 X_t 가 y 의 영향을 받지 않으므로 drift term 이 b(X_t) 라는 것을 알 수 있는데. Y_T = y 라는 조건이 부과됨으로써 식 (1) 의 drift term b(X_t) 대신에 y 에 영향을 받는 a(X_t,y,t) 라는 drift term 이 사용되는 것을 알 수 있습니다.
Conditioned Diffusion Process (조건화된 확산 과정)에서 주목할 만 것
식 (2)에서 보듯이 조건화된 확산 과정 에선 drift term a(X_t, y,t) 가 사용됩니다. 이 term a(X_t, y,t) 을 알게 되면 Y_T = y 라는 조건 하에 diffusion process X_t 가 어떻게 움직이는 지 알 수 있습니다. 여기서 문제는 a(X_t, y,t) 를 알기가 쉽지 않다는 점이죠. 이것을 알아내는 방법에 대해서는 차차 설명해드리겠습니다.