continuity equation의 증명

미분 방정식 시간 t 가 커지는 미분방정식 있다고 하자.

 

\frac{dx_t}{dt} = v_t(x_t) , t=0 \text{ 에서 시작}

x_t 분포를 p_t 라고 표현하자.

위의 미분 방정식은 아래와 같은 형태로도 쓸 수 있다.

\frac{d \phi_t(x_0)}{dt} = v_t(\phi_t(x_0))

그러면 \phi_t(x_0) 의 분포가 p_t 라는 얘기죠.

Continuity equation은 아래와 같은 식이다.

\frac{\partial}{\partial t } p_t(x)+ \nabla_x \cdot (v_t(x) p_t(x)) = 0

이 continuity equation을 증명해보자.

주목할점이 있다. p_t 의 표현이다. random vector의 pdf의 change of variable 쓴거라 보면 된다.

z = \phi_t(x) 일 때 p_t(z) = p_0(\phi_t^{-1}(z)) \left | \frac{\partial \phi_t}{\partial x} \right |^{-1}

 

continuity equation 증명을 위하여 \psi 를 실수값을 갖는 함수라 하자.

E_{z \sim p_t(z) } [\psi(z)] = E_{x \sim p_0(x)}[\psi(\phi_t(x))] 를 적분형태로 쓰면

\int \psi(z) p_t(z) dz = \int \psi(\phi_t(x)) p_0(x) dx

위의 식을 t 에 관하여 편미분하면

\int \psi(z) \partial_t p_t(z) dz = \int \nabla_{\phi_t(x)} \psi(\phi_t(x)) \cdot \frac{d}{dt} \phi_t(x) p_0(x) dx

z = \phi_t(x) 라 할때 p_t(z) = p_0(\phi_t^{-1}(z)) \left | \frac{\partial \phi_t}{\partial x} \right |^{-1} 라는 점과 \frac{d \phi_t(x_0)}{dt} = v_t(\phi_t(x_0)) 이용하면

\int \psi(z) \partial_t p_t(z) dz = \int \nabla_{z} \psi(z) \cdot v_t(z) p_t(z) dz

\nabla_{z} (\psi(z)v_t(z)p_t(z)) = \nabla_z \psi(z) \cdot v_t(z)p_t(z) + \psi(z) \nabla_z \cdot (v_t(z) p_t(z)) 라는 사실과 divergence theorem 사용하면

\int \psi(z) \partial_t p_t(z) dz = \int \nabla_z \cdot (v_t(z)p_t(z)) \psi(z) dz  \int \psi(z)[ \partial_t p_t(z) -\nabla_z \cdot (v_t(z)p_t(z)) ] dz 

\psi 는 임의의함수이므로

\frac{\partial}{\partial t } p_t(x)+ \nabla_x \cdot (v_t(x) p_t(x)) = 0 유도