신호 $x[n]$에 $N$ – point DFT를 적용한다고 하자. DFT를 적용시에 DFT point 길이인 $N$을 정해야 한다. 신호 $x[n]$의 길이보다 긴 $N$으로 정하는데 왜 $N$의 길이는 신호 $x[n]$의 길이보다 길어야 할까? 이 글에서는 DFT point $N$이 신호 $x[n]$의 길이보다 커야 하는 이유에 대해서 알아보겠다.
$N$이 신호 $x[n]$의 길이 $L$보다 작다고 가정
$N$이 신호의 길이 $L$보다 작다고 가정하자.
DFT 계산
DFT는 아래와 같이 계산할 수 있다.
$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n] e^{-j\frac{2\pi k}{N}n}$$
IDFT 계산시?
N이 L보다 길 경우 Inverse DFT를 했을 때 $x[n]$ 나오는데, N이 L보다 짧을 경우에 inverse DFT를 하면 어떻게 될까?
$$\sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2\pi k}{N} n} = \sum_{m=0}^{N-1}x[m] \sum_{k=0}^{N-1}e^{-j\frac{2\pi k}{N}(m-n)}$$
여기서 $\sum_{k=0}^{N-1}e^{-j\frac{2\pi k}{N}(m-n)}$ 값을 구할 수 있다.
$m-n$이 N의 배수이면 N이 나오고 $m-n$의 N의 배수가 아니라면 0이나온다.
지금 n은 고정된 숫자이고 $m$은 0부터 N-1사이의 숫자이므로 $\sum_{k=0}^{N-1}e^{-j\frac{2\pi k}{N}(m-n)}=N$이기 위해서는 $m=(n)_N$이어야 한다.
따라서 위의 식은 아래와 같이 계산할 수 있다.
$$\sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2\pi k}{N} n} = \sum_{m=0}^{N-1}x[m] \sum_{k=0}^{N-1}e^{-j\frac{2\pi k}{N}(m-n)}=x[(n)_N]$$
IDFT계산시 본래의 신호 $x[n]$이 나오길 바라지만 $N$이 $L$보다 작은 경우에 대해서, $n$이 $N$보다 클 경우 IDFT의 결과는 $x[n]$이 아니라 $x[(n)_N]$이 나온다.
$n$이 $N$보다 작다면 $x[n]$이 나오지만 $n$이 $N$보다 클 경우에는 $x[(n)_N]$나오기 때문에 본래 신호를 완벽히 복원할 수 없다.
결론
신호의 길이가 $N$보다 길 경우 IDFT를 계산하면 $x[n]$이 완벽히 복원 안된다. 대신 $N$이 신호의 길이보다 길 경우 $x[n]$이 완벽히 복원된다. 따라서 $N$을 $L$보다 길게 잡는다. 목적에 따라 N을 L보다 짧게 잡기도 한다. 그럴 경우는 신호 $x[n]$의 전체를 보는 것이아니라 $n=0,,,N-1$만 관심을 갖고 분석한다는 점을 기억하면 되겄다!