Doob’s h-transform을 이용한 markov process에 대해 알아보자. SDE로 표현되는 stochastic process x(t), y(t) 가 있다고 하자. 그리고 x(t),y(t)에 대한 conditional density를 p(y,s|x,t)=p(y(s)|x(t))라고 표현하자. 그리고 x(t),y(t)에 대한 Doob’s h-transform을 h(t,x) = \int p(y, t+s | x,t)h(t+s,y)dy 라고 하자. 이 h 를 이용해서 새로운 transition kernel을 만들 수 있다.
Doob’s h-transform을 이용한 transition kernel
p^h(y,t+s|x,t)=p(y,t+s|x,t) \frac{h(t+s,y)}{h(t,x)}위와 같이 h를 이용해서 p^h(y,t+s|x,t)=p(y,t+s|x,t) \frac{h(t+s,y)}{h(t,x)} 라고 만들수 있습니다. p^h 실제로 probability density가 되고 이것을 이용해서 markov process만들 수 있습니다.