Duhamel’s theorem (두하멜의 정리) 사용방법



여기서부터 입력이번 글에서는 Duhamel’s theorem (두하멜의 정리)에 대해 알아보겠습니다. 두하멜의 정리는 boundary condition이 주어진 편미분방정식을 풀 때 사용하기 좋은 정리입니다. 두하멜의 정리를 이용하면 시간 $t$에 의존하는 boundary condition이 주어질 때의 편미분방정식을 풀 수 있습니다.

Duhamel’s theorem 써먹을 수 있게 유도하기

시간에 의존하는 nonhomogeneous boundary condition 을 갖고, 하나의 homogeneous boundary condition 을 갖는 영역 $R$에서 정의된 1차원 heat conduction problem (열전도 문제)에 대해 생각해보자. 그리고 초기 시간 $t=0$에서 온도가 0도인 initial condition을 더해보자, 이 조건은 두하멜 정리에 대해 논의를 전개하기 위하여 필요한 조건이다. 위에서 언급한 문제를 cartesian coordinate에서 정리하면 아래와 같은 미분방정식 문제로 바꿀수 있다.

$$\frac{\partial^2 T(x,t)}{\partial x^2}  = \frac{1}{\alpha} \frac{\partial T(x,t)}{\partial t} \text{ in } 0<x<L, t>0 $$

$$BC1: T(x=0,t) = f(t)$$

$$BC2: T(x=L,t)=0$$

$$IC: T(x,t=0)=0$$

위의 미분 장정식은 변수분리법을 사용할 수 없다. 왜냐하면 $BC1$에서 보듯이 시간에 의존하는 nonhomogeneous boundary condtion이 있기 때문이다. 그래서 $f(t)$가 stepwise disturbance of unity인 auxillary problem에 대해 생각해보자. 이 auxillary problem은 $\Phi(x,t)$라고 표시할 것인데 아래와 같다.

$$\frac{\partial^2 \Phi(x,t)}{\partial x^2} = \frac{1}{\alpha} \frac{\alpha \Phi(x,t)}{\partial t} \text{ in } 0 <x<L, t>0$$

$$BC1: \Phi(x=0,t)=1$$

$$BC2: \Phi(x=L,t)=0$$

$$IC: \Phi(x,t=0) = 0$$

이러한 formulation은 original problem에서 unit step function 과 일치한다. $f(t) \to U(t) $ 를 생각해보자. $U(t)$는 $t\geq 0$일 때 값을 1로 갖고 나머지에서는 0을 갖는다. auxillary problem은 변수분리방법을 이용하면 미분방정식이 풀린다. 방금 제시한 auxillary problem에 대한 미분 방정식은 본래의 PDE 문제와 BC2, IC 가 동일하고 BC1은 다르지만 BC1은 homogenous boundary condition 이기 때문에 어쨋든 풀릴 것이다. 이제부터는 $\Phi(x,t)$의 해를 이용해서 본래의 PDE problem의 해 $T(x,t)$를 구할 것이다.

지금부터 해를 근사할것인데 $0\leq t \leq \tau_1$에서는 $T(x,t) \approx f(0) \Phi(x,t)$으로 근사할 것이다. 이렇게 하면 Boundary condition 과 Initial condition과 그리고 PDE를 만족한다. 이런식을 반복해서 아래와 같은 근사를 얻을 것이다.

$$T(x,t) \approx f(0) \Phi(x,t) + [f(\tau_1) – f(0)] \Phi(x,t-\tau_1) + [f(\tau_2)-f(\tau_1)]\Phi(x,t-\tau_2) + … + [f(\tau_n) – f(\tau_{n-1})]\Phi(x,t-\tau_n)$$

아래와 같은 notation을 도입해보자.

$$ \Delta f_m = f(\tau_m) – f(\tau_{m-1})$$

$$ \Delta \tau_m = \tau_m – \tau_{m-1} $$

그러면 아래와 같이 정리할 수 있다.

Duhamel’s superposition integral

$$T(x,t) \approx f(0) \Phi(x,t) + \sum_{m=1}^N \Phi (x,t-\tau_m) \frac{ \Delta f_m}{\Delta \tau_m} \tau_m$$

$N\to \infty$라 하자 그러면 $\tau_m \to 0$이되겠고 이것을 이용하면 식이 아래와 같이 바뀐다.

$$T(x,t) = f(0) \Phi(x,t) + \int_{\tau =0}^t \Phi(x,t-\tau) \frac{df(\tau)}{d\tau} d\tau$$

위의 식을 Duhamel’s superposition integral이라고 보른다. 여기서 $\tau$는 적분을 위한 변수이다. 주목하자 $\tau$에 대한 time-dependent nonhomogeneity를 계산하였다는 것을! 위의 적분식에 대체 식으로 부분적분법을 활용해서 아래와 같은 식이 나온다.

$$T(x,t) = \int_{\tau=0}^t f(\tau) \frac{\partial \Phi(x,t-\tau)}{\partial t} d\tau $$

이것이 성립하는 이유는 $\Phi(x,t=0) =0$이기 때문이다. 그리고 여기서는 아래의 조건을 사용하였다. $$ \frac{\partial \Phi (x,t-\tau)}{\partial t} = – \frac{ \partial \Phi (x,t-\tau)}{\partial \tau}$$

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