안녕하세요. 미분가능한 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 있다고 합시다. 이 두함수의 합성함수 $h(x)=f(g(x))$가 있다고 합시다. 그러면 $h(x)$는 미분이 가능할까요? 미분이 가능하다면 $h(x)$의 미분계수는 어떻게 될까요? 이번 글에서는 미분가능한 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 있을 때 이 두함수의 합성함수 $h(x)$의 미분가능성과 미분계수에 대해 알아보도록 하겠습니다.
합성함수 미분법
미분가능한 두 함수 $f(x),g(x)$가 있다고 합시다. 이 두함수의 합성함수 $h(x)=f(g(x))$이 있다고 합시다. 합성함수 미분법은 $h(x)$또한 미분 가능하고 $h(x)$의 미분이 아래와 같다는 것을 보여줍니다.
$$ \begin{align} \frac{d}{dx}h(x) = \frac{d}{dx} f(g(x))= f^\prime(g(x)) g^\prime(x) \end{align}$$
위의 사실을 증명하려면 어떻게 해야할까요
합성함수 미분 시도(?)
제기억에는 아래와 같이 미분의 정의를 사용해서 보이는데요.
$$ \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} = \frac{ f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \frac{ g(x+h)-g(x)}{h}$$
위의 식에서 문제점은 분모에 있는 $g(x+h)-g(x)$가 0이 될지도 모른다는 점입니다. 분모가 0이되면 안되죠. 그러면 어떤 방법을 사용해야 할까요?
미분가능의 의미
$x=a$에 대해 $g(x)$가 미분 가능하고 $x=g(a)$에 대해 $f(x)$가 미분 가능하다면 다음을 만족하는 $h=0$에서 연속인 함수 $\epsilon_1, \epsilon_2$이 존재합니다.
$$\begin{align} f(g(a)+h)-f(g(a)) &= f^\prime(g(a)) h + \epsilon_1(h) h \\ g(a+h)-g(a) &= g^\prime(a) h + \epsilon_2(h) h \end{align}$$
합성함수 미분법 증명
이제 우리가 보여야 할것은 다음을 만족하는 $h=0$에서 연속인 함수 $\epsilon$을 찾는 것입니다.
$$f(g(a+h))-f(g(a)) = f^\prime(g(a))g^\prime(a) h + \epsilon(h) h$$
어떻게 해야할까요? $f(x)$가 $x=g(a)$에서 미분가능하다는 사실을 이용하면 아래와 같이 식이 변합니다.
$$f(g(a+h))-f(g(a)) = \epsilon_1 (g(a+h)-g(a)) \times (g(a+h)-g(a)) + f^\prime(g(a))(g(a+h)-g(a))$$
이제 $g(x)$가 $x=a$에서 미분가능하다는 사실을 이용하면 수식이 아래와 같이 변하죠.
$$f(g(a+h))-f(g(a)) =(\epsilon_1 (g(a+h)-g(a))+f^\prime(g(a)))(g^\prime(a) h + \epsilon_2(h) h)$$
이 수식을 잘 정리해보면 아래와 같은 식으로 정리할 수 있습니다.
$$f(g(a+h))-f(g(a)) = \epsilon(h) h + f^\prime(g(a))g^\prime(a) h $$
여기서 $\epsilon(0)= \lim_{h\to 0} \epsilon(h) = 0$인 함수입니다. 미분의 정의에 의해 아래와 같은 사실이 보여집니다.
$$ \begin{align} \frac{d}{dx}h(x) = \frac{d}{dx} f(g(x))= f^\prime(g(x)) g^\prime(x) \end{align}$$