Fokker Planck Kolmogorov equation, 포커 플랑크 콜모고로프 방정식에 대해 알아보겠습니다.
안녕하세요. 이번글에서는 Fokekr Planck Kolmogorov equation 에 대해 알아보겠습니다. 한글로 하며는 포커 플랑크 콜모고로프 방정식이겠네요. Fokker Planck Kolmogorov equation 이 무슨 목적으로 나왓는지 그리고 무엇인지 알아보도록 하겠습니다. 이번 글은 짧고 쉽다면 쉬우니까 한번 따라와 주세요.
Fokker Planck Kolmogorov equation 의 포커 플랑크 콜모고로프 방정식 의미
이제부터 Fokker Planck Kolmogorov equation 을 줄여서 FPK equation 이라고 부르겠습니다. FPK equation 은 왜 나왔을까요? 물리적인 이유에서 등장했습니다. 어떤 입자의 움직임과 운동상태를 \mathbf{x} 라고 합시다. 시간 t 에 따라 x 가 변하지요. 그러면 시간 t 에 따라 \mathbf{x} 의 probability density function p (\mathbf{x}, t) 는 계속 해서 변합니다. 이 계속해서 변하는 probability density function (pdf)는 신기하게도 어떤 방정식을 만족하게 되는데요. 그 방정식이 바로 FPK equation 입니다. FPK equation 은 어떤 dynamics 에 따라 확률분포가 변하는데 그 확률분포에 대한 미분방정식이라고 보시면 되겠습니다. 이정도로 FPK 에 대한 그나마 쉬운 설명을 하고요. 이제는 실제 수식을 보도록 하겠습니다.
Fokker Planck Kolmogorov equation 형태?
FPK 는 dynamics 에 따라 변하는 확률분포가 따르게 되는 방정식이 아니라고 했는데요. 그러면 어떤 dynamics 가 이 FPK equation 을 따르게 될까요? dynamics 를 표현하는 방법중에는 대표적으로 확률미분방정식 (SDE: Stochastic Differential Equation, 이하 SDE)가 있죠. 일반적인 확률미분 방정식은 아래의 수식 (1)처럼 생기었죠.
\begin{equation} d \mathbf{x} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, t) dt + \mathbf{L} ( \mathbf{x}, t) d \mathbf{w} \end{equation}
확률미분방정식에 대해 궁금하신 분들은 이 글(확률미분방정식)을 다시 한번 보고 오시고요. 여기서 식 (1)의 diffusion matrix 를 \mathbf{Q} 라고 표시할게요. 어쨋든 SDE 를 이용해서 \mathbf{x} 의 변화를 모델링하였습니다. 시간에 따라 \mathbf{x} 의 probability density function p(\mathbf{x},t) 는 변해가는데요. 앞에서 말씀 드렸다시피 이 p( \mathbf{x}, t) 는 어떤 방정식을 따르게 되고 그 방정식이 바로 FPK equation 이라고 했습니다. FPK equation 은 아래와 같이 생겼습니다.
\begin{equation} \frac{ \partial p ( \mathbf{x} , t) } { \partial t} = - \sum_{i} \frac{ \partial}{ \partial x_i} [ f_i ( \mathbf{x},t) p(\mathbf{x}, t)] + \frac{1}{2} \sum_{i,j} \frac{ \partial^2} {\partial x_i \partial x_j} \{[\mathbf{L} ( \mathbf{x}, t) \mathbf{Q} \mathbf{L}^T ( \mathbf{x} , t) ]_{ij} p ( \mathbf{x} ,t) \}\tag{FPK equation}\end{equation}FPK equation 을 보면 PDE (Partial Differential Equation) 이라는 것을 알 수 있네요. FPK equation를 어떻게 사용하는지 다음에 한번 살펴보겠습니다.