Gauss Markov Model 에 대해 알아보겠습니다. 가우시안 분포로 구성된 Markov property를 만족하는 모델을 Gauss Markov Model 이라고 합니다. 어떻게 정의하는지 아래에서 자세히 살펴보도록 하죠.
Gauss Markov Model
Gaussian Markov model은 아래와 같이 표현됩니다.
$$\mathbf{s}[n] = \mathbf{A}\mathbf{s}[n-1]+\mathbf{B}\mathbf{u}[n], n \geq 0$$
여기서 $\mathbf{s}[n]$은 사이즈가 $p \times 1$ 인 벡터입니다. $\mathbf{A}$는 eigenvalue의 magnitude가 1보다 작거나 같은 $p \times p$ 행렬입니다.$\mathbf{B}$는 $p \times r$ 사이즈를 갖는 행렬입니다. 위의 식에서 나오는 $s[n]$을 Gaussian 분포를 갖도록 표현할것입니다. Gaussian 분포를 표현하는 가장 쉬운 방법중에 하나는 독립인 가우시안 분포를 선형결합(곱하고 더하기)하는 방법입니다. 독립인 가우시안 분포의 선형결합은 가우시안 분포가 되기 때문이죠. 선형결합하기 위해 $\mathbf{s}[-1]$이 Gaussian이라고 가정하고 $\mathbf{u}[n] \sim \mathcal{N}( \mathbf{0}, \mathbf{Q})$은 White Gaussian Noise이고 $\mathbf{s}[-1]$과 독립이라고 가정합시다. 그렇게 되면 $\mathbf{s}[n]$은 가우시안 분포를 갖게됩니다. 이 때 $\mathbf{s}[n]$의 mean 과 covariance $\mathbf{C}[n]$는 아래와 같이 정리할 수 있습니다.
\begin{align*}
E(\mathbf{s}[n]) &= \mathbf{A} E(\mathbf{s}[n-1])\\
\mathbf{C}[n] &= \mathbf{A}\mathbf{C}[n-1]\mathbf{A}^T + \mathbf{B}\mathbf{Q}\mathbf{B}^T
\end{align*}