Impulse Invariance 설명, 증명 과정


input으로 들어오는 신호 $x_c(t)$가 bandlimited 일 때 continuouse time LTI system을 아래와 같은 시스템으로 표현할 수 있을까?

[그림 1]Discrete-Time LTI Processing of Continuous-Time Signals
[그림 1]Discrete-Time LTI Processing of Continuous-Time Signals

결론부터 말하면 sampling period $T$를 충분히 크게 하면 가능하다. 그리고 Discrete Time LTI system의 impulse response $h[n]$을 주어진 연속시간 LTI system $h(t)$를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$h[n] = Th_c(nT)\tag{1}\label{1}$$

이와 같은 결론을 도출하기 위해 [그림 1]과 같이 주어진 시스템에서 $H_c(j\Omega)$와 $H_d(e^{j\Omega})$의 관계를 살펴봐야 한다. 유도과정이 좀 있지만 [그림 1]과 같은 시스템에서는 다음을 만족한다.

$$ H_c(j\Omega) =  \begin{cases} H(e^{j\Omega T}) & \left|\Omega\right| \leq \frac{\pi}{T} \\[.5em] \\ 0 & \left|\Omega\right| \geq \frac{\pi}{T}  \tag{2}\label{2}\end{cases}$$

input이 bandlimited 인 임의의 continuous LTI system이 [그림1]처럼 표현되기 위해서는 $\ref{2}$을 만족하는 $h[n]$을 찾으면 된다. $\left|\Omega\right| \leq \frac{\pi}{T} $에서 $H_c(j\Omega) = 0$이라는 전제하에 $\left|\Omega\right| \geq \frac{\pi}{T}$에서 $H(e^{j\Omega})=H_c(j\frac{\Omega}{T})$를 만족하는 $H(e^{j\Omega})$를 찾았다고 가정하자. $H(e^{j\Omega})$는 DTFT의 주기성에 의해 다음과 같이 표현된다.

$$H(e^{j\Omega}) = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty}T H_c\left(j\frac{1}{T}(\Omega-2\pi k)\right) \tag{3}\label{3}$$

$\left|\Omega\right| \leq \frac{\pi}{T} $에서 $H_c(j\Omega) = 0$이므로 $\left|\Omega\right| \geq \frac{\pi}{T}$에서 $H(e^{j\Omega})=H_c(j\frac{\Omega}{T})$임을 쉽게 알 수 있다. $\ref{3}$은 $Th_c(t)$를 C/D 했을 때 얻을 수 있는 식이다. 그러므로 우리가 찾고자 하는 $h[n]$는 \ref{1}로 정의하면 구할 수 있다.

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