Infinitesimal generator에 대해 알아보겠습니다. 말그대로 아주 조그만 부분(infinitesimal)에서 generator(생성자)라는 뜻인데요. 이것이 무엇을 의미하는 것일까요? Infinitesimal generator 를 이해하기 위해 필요한 것들과 Inifinitesimal generator 의 정의에 대해 알아보도록 하겠습니다. 어렵지 않은 내용이니 따라와 주세요
Infinitesimal generator 대하여
Infinitesimal generator에 대해 알아보겠습니다. 확률미분방정식 (SDE: Stochastic Differential Equation)을 해석하는데 있어서 중요한 역할을 하는 친구입니다. Infinitesimal generator에 대해 한번 제대로 파헤쳐 보도록 하겠습니다. 혹시 이 영상을 보고 이해가셨다면 이글을 안 읽으셔도 됩니다.
Infinitesimal generator에 대해 알기전 알아야 할 것
Inifinitesimal generator 에 대해 알기 위해서는 이토 확산 (Ito Diffusion)에 대해 알아야 됩니다. 이토 확산에 대해서는 아래 글과 영상에 잘 나와있네요.
[확률미분방정식] 이토 확산 (Ito Diffusion) 설명
[확률미분방정식] Infinitesimal generator정리 , Stochastic Differential Equations
Infinitesimal generator의 정의
본격적으로 Infinitesimal generator 에 대해 알아보겠습니다. X_t \in \mathbf{R}^n/latex] 를 Ito Diffusion (이토 확산)이라고 합시다. [latex] X_t 의 generator A 는 아래와 같이 하나의 연산으로써 정의됩니다. 어떤 함수 f : \mathbf{R}^n \to \mathbf{R} 가 있다면 x 에 대해 아래와 같이 작용하는 A 를 이토 확산 X_t 의 generator 라고 말합니다.
Af(x) = \lim_{t\to 0^+} \frac{ E^x[f(X_t)]-f(x)}{t}여기서 D_A (x) = \{ f : Af(x) \text{ 존재} \} 라고 존재하고 D_A = \cap_{x \in \mathbf{R}^n} D_A(x) 라고 정의합니다.