아래와 같은 미분방정식이 있다.
\frac{d}{dt}x_t = v_t(x_t)x_t 의 분포를 p_t 라고 하자.
그러면 아래를 만족하고 이것을 Instantaneous change of variables formula리 한다.
\frac{d}{dt} \log p_t(x_t) = - \nabla_{x_t} \cdot v_t(x_t)위의 식에서 입력변수가 stochastic process x_t 로써 x_t 는 t 에 관한 함수로 간주된다.
증명을 해보자.
\frac{d}{dt} \log p_t(x_t) = \frac{\partial}{\partial _t } p_t(x_t) + \nabla_{x_t} p_t(x_t) \cdot \frac{dx_t}{dt}\frac{d}{dt}x_t = v_t(x_t) 라는 사실과 log continuity equation을 이용하면!
\frac{d}{dt} \log p_t(x_t) = -\nabla_{x_t} \cdot v_t(x_t)지금까지 했던것은 Neura ode와 연관있고 neural ode는 flow matching과 관계 있고 flow matching의 응용으로 음성향상에 쓰인 FlowSE [1]가 있다.
[1] Lee, S., Cheong, S., Han, S., & Shin, J. W. FlowSE: Flow Matching-based Speech Enhancement. ICASSP 2025. doi:10.1109/ICASSP49660.2025.10888274.