Ito formula (이토공식) 에 대해 알아보자
Ito formula (이토 공식)에 대해 알아봅시다. Ito formula 는 caclulus 의 chain rule 의 stochastic calculus 에서 버전이라고 보면 되겠습니다. stochastic calculus 이므로 일반 calculus 와 다른 점 이 있겠죠. Ito formula 를 하나의 정리로 보고 Ito lemma (이토 보조정리)라고도 부릅니다. 이 글에서 Ito formula 가 무엇인지 보고 Ito formula의 특징과 Ito formula 의 적용 사례에 대해 보겠습니다.
Ito formula (이토공식) 혹은 Ito Lemma(이토보조정리)
Ito process \mathbf{x} (t) 가 있다고 합시다. 이토과정은 아래와 같이 SDE를 만족하죠.
d \mathbf{x} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, t) dt + \mathbf{L}(\mathbf{x},t) d \mathbf{w}그럴 때 \mathbf{x}, t 와 관련된 함수 \phi(\mathbf{x}, t) \in \mathbf{R} 가 있다고 합시다. 그랬을 때 d \mathbf{\phi} 는 아래와 같이 표현가능하고 아래의 식을 Ito formula 라고 부릅니다.
d \phi = \frac{ \partial \phi}{\partial t} dt + \sum_i \frac{ \partial \phi}{\partial x_i} dx_i + \frac{1}{2} \sum_{i,j} \left( \frac{ \partial^2 \phi}{\partial x_i \partial x_j}\right) dx_i이것을 조금 더(?) 간단히 두면 아래와 같이 둘 수 있어요.
d\phi = \frac{\partial \phi}{\partial t}dt + (\nabla \phi)^T d \mathbf{x} + \frac{1}{2} tr[ (\nabla \nabla^T \phi) d\mathbf{x} d\mathbf{x}^T]실제로 이토공식을 전개할 때는 d\mathbf{w} dt = \mathbf{0}, dt d\mathbf{w} =0, d\mathbf{w} d \mathbf{w}^T = \mathbf{Q} dt 등이 사용됩니다.
Ito formula (이토공식)의 특징
이토공식의 특징이 무엇일까요? 만약에 \mathbf{x} 가 stochastic process가 아니라면 아래와 같이 chain rule 이 성립한다는 사실 다 알고 있을 겁니다.
d \phi = \frac{ \partial \phi}{\partial t} dt + \frac{ \partial \phi}{ \partial x} dx
그런데 chain rule에서는 1차항까지만 나오는데요. stochastic process 에 대한 이토보조정리에서는 2차항까지 나온다는 것을 알 수 있습니다.
Ito formula (이토공식) 의 활용
이토공식을 활용해 볼께요. \phi(x) = \frac{1}{2} x^2 일 때 x 에 brownian motion w 를 넣고 이토공식 적용하면 아래와 같은 식이 나오죠.
dw^2 = w dw + \frac{1}{2} dt우리가 알고있는 calculus 와 다르게 1/2 dt 가 남는 것을 확인할 수 있네요!
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