Ito integral (이토적분) 을 표시하는 방법에 대해 알아보자.
지난 글에서 다변수 이토적분 그리고 일변수 이토적분에 대해서 배웠습니다. 이번 글에서는 이토적분을 표기하는 간단한 방법에 대해 알아보겠습니다. 이 글을 보기전에 우선 이토적분이 뭔지 챙겨보고 오세요.
Ito integral (이토적분) 기호 정리
아래와 같은 이토 적분이 있다고 합시다. 다변수 이토 적분이죠.
\int_{t_0}^t \mathbf{L}_s d\mathbf{w}_s \quad t \geq t_0여기서 아래와 같이 이토적분을 하나의 랜덤프로세스로써 정의해보겠습니다.
\mathbf{x}(t) = \int_{t_0}^t \mathbf{L}_s d \mathbf{w}_s \quad t \geq t_0그렇다면 \mathbf{x}(t_0) = \mathbf{0} 인것이 성립하고요. \mathbf{x}(t) 의 t 에 따른 변화를 아래와 같이 쓸 수 있겠습니다.
\mathbf{x}(t) - \mathbf{x}(t_0) =\int_{t_0}^t \mathbf{L}_s d \mathbf{w}_s그리고 t_2 > t_1 \geq t_0 에 대해서도 \mathbf{x}(t) 의 변화를 아래와 같이 쓸 수 있죠.
\begin{equation} \mathbf{x}(t_2) - \mathbf{x}(t_1) =\int_{t_1}^{t_2} \mathbf{L}_s d \mathbf{w}_s \end{equation}여기서 만약에 \mathbf{L}_t = \mathbf{L}(t, \mathbf{x}(t)) 와 같이 \mathbf{L} 가 t, \mathbf{x}(t) 에 의존한다면 기호를 아래와 같이 쓸 수 있습니다.
\begin{equation} \mathbf{x}(t_2) - \mathbf{x}(t_1) =\int_{t_1}^{t_2} \mathbf{L}(s, \mathbf{x}(s)) d \mathbf{w}_s \end{equation}Ito integral (이토적분) 을 이용해 짧은 순간의 변화 표현
나중에 알게되겠지만 이토적분은 어떤 짧은 순간의 변화를 모델링하기 위해 사용됩니다. 그래서 짧은 순간의 변화를 나타내는 d\mathbf{x} , dt , d\mathbf{w} 를 이용해서 이토적분을 표현합니다.
예를들어서 식 (1)을 t가 변할 때 \mathbf{x} 의 변화 d\mathbf{x} 라는 의미로 아래와 같이 씁니다.
d \mathbf{x} = \mathbf{L}(t) d\mathbf{w}만약에 \mathbf{L} 이 식 (2)와 같이 t, \mathbf{x} 에 의존한다면 아래와 같이 쓸 수 있겠네요.
d \mathbf{x} = \mathbf{L}(t, \mathbf{x}) d \mathbf{w}