Ito integration 에 대해 알아보자.
Ito integration에 대해 알아보겠습니다. Ito integration 은 한글로 이토적분이라고 합니다. 이토적분은 무엇일까요? 이토적분은 Wiener process를 이용해 정의한 적분입니다. 이번글에서는 이토적분의 정의를 함 보도록 하겠습니다.
Ito Integration
w_t 를 Wiener process 라고 합시다. 1차원 Wiener process 라고 합시다. 그리고 stochastic process G_t 가 있다고 합시다. 이토적분은 어떻게 정의할까요? 만약에 [0,t]에서 이토적분을 하고 싶다면 일단 [0,t]를 쪼갭니다. 0=t_0 < t_1 < t_2 ... < t_N = t 형태로요. 이랬을 때 아래의 극한이 존재할 때 그 값을 이토 적분이라고 부릅니다.
\lim_{N\to \infty} \sum_{k=1}^N G_{t_{k-1}} (w_{t_k} - w_{t_{k-1}})위의 식에서 주목할점은 G_t 에 t 에 들어가는 점이 파티션 [t_{i-1}, t_i] 에서 왼쪽 점인 t_{i-1} 라는 사실에 주목해주세요. 이토적분은 기호로는 아래와 같이 씁니다.
\int_0^t G_s dw_s = \lim_{N\to \infty} \sum_{k=1}^N G_{t_{k-1}} (w_{t_k} - w_{t_{k-1}})
여기서 극한이 수렴할 때 이토적분이라고 정의한다면 과연 이 극한은 어떤 의미에서 극한인지 궁금하실 텐데요. 사실은 L2 convergence로써 극한입니다.