지난 글에서는 Jointly WSS가 무엇인지 살펴보았다.(Jointly WSS(Wide Sense Stationary) Process의 정의) 이번 글에서는 Jointly WSS의 예시를 살펴보도록 하자. $X_t$,$Y_t$가 Jointly WSS인 대표적인 경우는 입력이 WSS 인 LTI 시스템인 경우이다. 자세히 살펴보도록 하자.
Jointly WSS는 LTI System에서 찾을수 있다.
입력이 WSS $X_t$이고 출력이 $Y_t$인 아래와 같은 LTI System에서 $X_t$와 $Y_t$는 Jointly WSS이다
증명
이 사실을 증명하기 위해서 Jointly WSS 정의의 조건인(Jointly WSS(Wide Sense Stationary) Process의 정의) 두가지를 보이면 된다.
(1) $X_t$,$Y_t$가 WSS
(2) $E[X_{t+\tau} Y_t]$가 서로 다른 시점의 간격 $\tau$에만 의존한다.
(1) 증명
$X_t$는 WSS 라는 가정이 있고 $Y_t$는 LTI System의 출력이므로 $Y_t$는 WSS이다.(WSS(Wide Sense Strict) 프로세스가 LTI 시스템(선형시불변시스템)을 통과해도 WSS 프로세스임을 증명)
(2) 증명
$Y_t$가 $X_t$와 $h(t)$ 의 컨볼루션임을 활용하면 다음을 보일 수 있다.
$$\begin{align}E[X_{t+\tau}Y_t] &= E\left[X_{t+\tau}\int_{-\infty}^{\infty}h(\beta)X_{t-\beta} d\beta\right] \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} h(\beta) R_{X}(\tau+\beta)d\beta\end{align}$$
$R_{X}(\tau + \beta)$가 나온 이유는 $X_t$가 WSS 이기 때문이다.(WSS(Wide Sense Stationary)Process 의 정의와 의미) $ E[X_{t+\tau}Y_t]$이 $\tau$에만 의존한다는 것을 알 수 있으므로 $X_t$,$Y_t$는 Jointly WSS이다.
결론적으로 $X_t$가 WSS 이고 $Y_t$가 LTI system 거쳐 나온 결과라고 할 때 $X_t$와 $Y_t$는 Jointly WSS 이고 이에 따라 $X_t$,$Y_t$의 Correlation 은 아래와 같이 시간의 간격에만 의존하는 형태로 쓸 수 있다.
$$R_{XY}(\tau) = E[X_{t+\tau}Y_{t}]$$