랜덤 프로세스가 WSS(Wide Sense Stationary) 프로세스라는 것의 정의는 이 글(WSS(Wide Sense Stationary)Process 의 정의와 의미)에서 살펴보았다. WSS일 경우 $E[X_{t+\tau}X_t]$가 두 시점의 차이인 $\tau$에만 의존하는 성질이 있다. 그래서 WSS 프로세스인 $X_t$에 대해서는 시간의 차이에만 의존하는 Correlation 함수 $R_{X}(\tau) = E[X_{\tau+t} X_t]$를 정의할 수 있다. 여기서 궁금해지는 것이 랜덤 프로세스 $X_t$와 $Y_t$의 Correlation 함수를 정의할 수 있지 않을까 생각이든다. $R_{X Y}(\tau) = E[X_{t+\tau} Y_t]$로 정의하여 $X_t$와 $Y_t$의 correlation 을 구하는 방법이 있을까? 그러기 위해서는 $E[X_{t+\tau} Y_t]$가 $\tau$에만 의존해야 한다. $E[X_{t+\tau} Y_t]$가 $\tau$에만 의존하는 랜덤프로세스 $X_t$,$Y_t$의 조건을 찾다가 Jointly WSS가 나온것으로 추정된다.
Jointly WSS(Wide Sense Stationary) Process의 정의
다음의 두 조건을 만족하는 프로세스 $X_t$와 $Y_t$를 Jointly WSS 프로세스라고 부른다.
조건1) $X_t$,$Y_t$는 WSS 프로세스
조건2) $X_t$,$Y_t$의 Correlation은 $E[X_{t+\tau} Y_t]$는 시점의 차이 $\tau$에만 의존한다.
$X_t$,$Y_t$가 WSS 프로세스(WSS(Wide Sense Stationary)Process 의 정의와 의미) 인거 + $X_t$,$Y_t$의 correlation 이 시점의 차이에만 의존하면 Jointly WSS 이다.
조건2)를 만족하게 되면 $X_t$,$Y_t$간의 Correlation Function 을 정의할 수 있다.
Jointly WSS 의 Correlation Function $R_{XY}(\tau)$
조건2)에 의해 Correlation Function $R_{XY}(\tau)$를 정의할 수 있다.
$$ R_{XY}(\tau) = E[X_{t+\tau}Y_{t}]$$
위와 같이 Jointly WSS에서는 시점의 차이로만 $X_t$,$Y_t$의 Correlation 을 알 수 있는 장점이 있는것 같다.!
Reference
John A. Gubner “Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers 1st Edition”