jump process X_t 가 있다고 하자.
고정된 시간 t 에 대하여 그리고 state x 에 대하여 얘기해보자.
t 에서 X_t = x 라고 하자.
이때 t 에서 h 만큼 흘를 동안 jump가 생기지 않을 확률을 구해보자. 식은 아래와 같다.
P(\text{ no jump in } [t,t+h] |X_t =x)이거를 좀 바꿔 써보자.
P(\text{ no jump in } [t,t+h] |X_t =x) =P(X_{t+s}=x \text{ for all } s \in [0,h] | X_t =x)근데 이것은 survival function을 이용해 표현 가능함 ( jump process의 survival function )
S_x (t,t_0)=P(X_{t+s}=x \text{ for all } s \in [0,h] | X_t =x)survival function closed form 구했으니 이점을 이용하면 ( jump process의 survival function의 closed form )
S_x (h, t) = \exp\left(- \int_0^h \lambda(t+\tau, x) \right)여기서 \lambda (t,x) 는 intensity function이다. ( jump process의 jump intensity, rate function, )