X_t 가 continuous jump process라고 하자.
X_t 가 가질수 있는 값은 continuous이라는 것이고 t 또한 연속적이다.
나는 지금 X_t 를 jump process로 정의하고 싶다.
jump process는 X_t 가 가만히 있다가 갑자기 다른 state로 이동하는 것을 의미한다.
그러면 이것을 정의하기 위하여 어떤 방법을 취하는가?
바로 jump intensity 혹은 rate function \lambda(t,x)를 것을 정의한다.
\lambda(t,x) 의 뜻은 X_t =x 일때 단위시간동안 x 에서 다른 state로 jump 할 빈도를 의미한다.
이것을 이용해서 특정 시점에서 점프가 있을 확률, 점프가 없을 확률을 정의할 수 있다.
가령 h 가 아주 작은 간격이라고 하자.
그럴때 X_t =x 에 있던것이 [t,t+h] 에서 jump 하지 않을 확률을 \lambda(t,x) 를 이용해 정의한다.
P(\text{no jump in } [t,t+h] | X_t =x ) = 1- \lambda(t,x)h + o(h)그러면 jump가 있을 확률은 아래와 같이 정의된다.
P(\text{jump in } [t,t+h] |X_t=x) = \lambda(t,x)h+o(h)jump 할 확률은 시간간격에 따라 \lambda(t,x) 만큼 비례해서 커진다는 것을 알 수 있다.