jump process X_t 가 있다고 하자.
이것의 survival function S_x(t,t_0) 를 구해보자.
survival function을 만들기 위하여 어떤 미분방정식을 만들어줘야 함
S_x(t+h, t_0) 를 생각하자 이것은 X_{t_0}=x일때 t+h흐르는동안 jump가 없을 확률이다.
t+h 동안 jump가 없으려면 t 초동안 jump가 없어야 하고 남은 h 동안 jump가없어야 한다.
t 동안 jump가 없을 확률은 survival function을 이용해 S_{x}(t,t_0) 이라 나온다.
h [/atex] 가 굉장히 작다면 [latex] h 동안 jump가 없을 확률은 intensity function인 \lambda(t,x) 이용해 구할 수 있다.
그러면
S_{x}(t+h,t_0) = S_x(t,t_0)(1- \lambda (t+t_0,x)+o(h) )이것을 이용하면
\frac{S_{x}(t+h,t_0) - S_x(t,t_0)}{h} = -\lambda(t+t_0,x) S_x(t,t_0)+o(h)/h이제 h \to 0 일때
\frac{d}{dt} S_x(t,t_0) =- \lambda(t+t_0, x) S_x(t,t_0 )그래서
S_x(t,t_0) = \exp\left(- \int_{0}^t \lambda(\tau+t_0,x) d\tau \right)이렇게 intensity의 적분의 intensity를 이용해서 t 동안 jump없을 확률인 survival function S_x(t,t_0) 를 구할 수 있다.