Stochastic process는 막 만들 수 있는 걸까? Stochastic process 를 말 그대로 잘 정의하기 위해서는 function space위에 정의할 measure가 얼토당토 하지 않은 measure이어야 한다. Kolmogorove Extension theorem 은 function space에 정의 될 measure의 조건을 말해준다.
Kolmogorov Extension theorem 왜 할까?
$\mathcal{X} = \mathbb{R}^d$, $\mathcal{Y} = \mathbb{R}^n$이라 하자. $\Omega_{x} = \mathcal{Y}, x \in \mathcal{X}$이라고 하자. $\Omega_J = \prod_{x \ J} \Omega_x$라고 정의하자. 지금 하려고 하는 것은 $\Omega = \Omega_\mathcal{X}$에 probability measure $P$를 만들어서, stochastic process를 정의하고 싶다. $f \in \Omega$는 finite set $F$에 대하여 $\Omega_F$위에서의 probability measure $\mu_F$ 에 의해 특징지어질 수 있다. 이점에서 착안하여 유한개의 joint distribution 이 특정 성질을 갖게 끔 stochastic process를 정의할 수 있는 조건이 kolmogorov extension theorem 이다.
Kolmogorov Extension theorem
$F,G$를 $\mathcal{X}$ 의 유한 부분집합이고 다음을 만족한다고 하자. $F \subset G \subset \mathcal{X}$. $\pi_F^G : \Omega_G \to \Omega_F$를 $F$에서 $G$로의 projection mapping 이라고 하자. 아래의 조건을 만족하는 measure $\mu_F$,$\mu_G$가 존재한다고 하자.
$$\pi_F^G * \mu_G = \mu_F$$라고 하자.
여기서 *는 backward measure를 의미한다.
그러면 아래의 조건을 만족하는 probability measure $P$가 $\Omega$위에 유일하게 존재한다.
$$ \pi_F^\mathcal{X} * P = \mu_F $$
이 말은 finite set에서 특정 joint 를 갖는 stochastic process가 유일하게 존재한다는 의미이다.
kolmogorov extention theorem 에 대해 알아보았다. 유한개의 joint distribution 이 특정 분포를 따르게 끔 stochastic process를 만들고 쉽다면 위의 조건을 만족하게끔 정의를 하면된다는 것을 말해준다. 어렵긴 한데.. 실제 응용에서는 그리 어렵지 않은 방법으로 사용한다.!
출처
https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_extension_theorem