이번 글에서는 확률미분방정식의 topic중 하나인 Kolmogorov’s Backward Equation 에 대해 알아보겠습니다. Kolmogorov’s Backward Equation 은 어떤 Diffusion process에 대한 Expectation 을 편미분 방정식 꼴로 나타내는 방식입니다. 역으로 Kolmogorov’s Backward Equation 을 만족하는 함수가 있다면 이 함수를 Diffusion process에 대해 정의된 Expectation으로써 정의 가능합니다. 이제 글을 시작해보겠습니다.
Kolmogorov’s Backward Equation 에 대해 알아보자
Kolmogorov’s Backward Equation 에 대해 알기 위해서는 몇가지 개념이 필요합니다. 확률미분방정식으로 표현되는 Ito Diffusion 에 대해 알아야 되고 두번째로 Ito Diffusion 의 Generator 개념 또한 알고 있어야 합니다. 이번글에서는 Ito Diffusion과 Generator 에 대해 복습을 한번 하고요. 그 다음으로 Kolmogorv’s Backward Equation 에 대해 알아보겠습니다. 그런다음 Kolmogorov’s Backward Equation 의 변형판에 대해서도 알아보겠습니다.
Ito Diffusion Process이란?
Kolmogorov’s Backward Equation 에 대해 알아보기 전에 먼저 Ito Diffusion Process에 대해 알아보겠습니다. Ito Diffusion Process에 대해서는 이미 설명이 잘 되어있는 글과 영상이 있습니다. 아래 글과 영상을 보고 이해가 되신다면 아래에 있는 Generator에 대한 설명을 먼저 보셔도 무방합니다.
[확률미분방정식] 이토 확산 (Ito Diffusion) 설명
[확률미분방정식] Ito Diffusion (이토확산) , Stochastic Differential Equations
Ito Diffusion Process는 아래와 같은 Stochastic Differential Equation 을 만족하는 Stochastic Process \{ X_t\}_{t\geq 0 } 를 말합니다.
dX_t = b(X_t) dt + \sigma(X_t) dB_t\tag{1}여기서는 b(x), \sigma(x) 가 time t 에 의존하지 않는다는 것을 주목해주세요. time t 에 의존하지 않는 b(x), \sigma(x) 로 구성된 확률미분방정식으로 표현되는 diffusion process X_t 를 time-homogeneous diffusion process 라고 부릅니다. 여기서 약속할것은, 만약에 X_0 = x 로부터 시작한다면 f(X_t) 의 기대값(expectation)은 X_0 =x 에서 부터 시작한다는 의미로써 E^x [f(X_t)] 라고 씁니다.
Generator 의 정의
이제 Kolmogorov’s Backward Equation에 알아보기전에 한가지 단계가 남았습니다. 바로 Generator에 대해 알아보는 것입니다. 식 (1)를 만족하는 Diffusion Process X_t 가 있다고 합시다. 그러면 이 Diffusion 의 (infinitesimal) generator A 는 아래와 같은 연산을 하는 operator 로써 정의 됩니다.
Af(x) = \lim_{t \downarrow 0} \frac{E^x[f(X_t)]-f(x) }{t}그리고 이 generator A 는 아래와 같이 식 (1)의 b, \sigma 를 이용하여 표현 할 수 있습니다.
Af(x) = \sum_{i} b_i (x) \frac{ \partial f}{\partial x_i} + \frac{1}{2} \sum_{i,j} (\sigma \sigma^T)_{i,j}(x) \frac{ \partial^2 f } {\partial x_i \partial x_j} \tag{2}식 (2)를 만족하는 operator A 가 generator 라 불리는 이유는 generator 와 diffusion process가 거의 1대1 관계에 있기 때문입니다. 따라서 generator 를 알면 diffusion process를 알 수 있고 diffusion process를 알면 generator를 알 수 있습니다. generator에 대해 좀 더 자세히 알고 싶다면 아래의 글과 영상을 참고 하시길 바랍니다.
Infinitesimal generator 정리 [확률미분방정식(SDE: Stochastic DIfferential Equation)]
[확률미분방정식] Infinitesimal generator정리 , Stochastic Differential Equations
Kolmogorov’s Backward Equation이란?
이제 Kolmogorov’s Backward Equation 에 대해 알아보겠습니다. 수학적인 엄밀함은 약간 내려놓고 시작하겠습니다. 식 (1)를 만족하는 diffusion process X_t 가 있다고 합시다. 어떤 함수 f 가 있다고 합시다. 그리고 아래와 같이 X_t 가 X_0 =x로 부터 시작할 때의 f(X_t) 의 expectation 을 정의합니다.
u(t,x) = E^x[f(X_t)] \tag{3}여기서 잠시 식 (2)를 만족하는 X_t 의 generator A 를 생각해봅시다. 이제 Kolmogorov’s backward equation 에 대해 알아보겠습니다. 식 (3)에 있는 함수 u(t,x) 다음과 같이 initial condition 이 있는 편미분 방정식을 만족합니다.
\frac{\partial u}{\partial t} = A u, u(0,x) = f(x) \tag{4}(4)와 같은 편미분방정식을 Kolmogorov’s Backward Equation 이라고 부릅니다.
Kolmogorov’s Backward Equation 이 의미 있는 이유
Kolmogorov’s Backward Equation 에 대한 중요한 사실이 하나 있습니다. 만약에 어떤 함수 w(t,x) 가 식(4)의 Kolmogorov’s Backward Equation 을 만족한다면 u(t,x) = w(t,x) 라는 사실입니다. 이것이 의미하는 것은 무엇일까요? 편미분 방정식 (4) Kolmogorov’s Backward Equation 을 만족하는 함수 u(t,x) 를 찾고자 합시다. 사실 편미분 방정식은 풀기 어렵지만 식 (3)을 이용해서 simulation 하면 u(t,x) 를 구할 수 있습니다. 반대로 expectation u(t,x) =E^x[f(X_t)] 를 구하고 싶다면 편미분 방정식인 Kolmogorov’s Backward Equation (4)을 풀어서 expectation 을 구할 수 있습니다. 서로 관련없어 보이는 편미분 방정식과 확률론적 관점이 만나 어떤 solution 을 찾는 방법을 제시하기 때문에 Kolmogorov’s Backward Equation 이 의미있다고 생각합니다.
Kolmogorov’s Backward Equation 의 다른 버전
Kolmogorov’s Backward Equation (4)의 다른 버전을 살펴보겠습니다. 만약에 v(t,x) = E^x[f(X_{T-t})] 와 같이 시간이 거꾸로 가는 함수가 있다고 합시다. 그러면 u(t,x)=E^x[f(X_t)] 일 때 v(t,x) = u(t-T,x) 입니다. u(t,x) 는 Kolmogorov’s Backward equation (4)를 만족하므로, chain rule 에 의해 s =T-t 라 하면 \frac{\partial}{\partial t} v = - \frac{\partial}{\partial s } u 라는 것을 알 수 있죠. 그리고 generator A 는 t 와 상관없기 때문에 Au=Av 를 만족합니다. 이 사실을 종합하면 아래와 같이 t=T 에 condition이 걸린 Kolmogorov’s Backward Equation 을 만날 수 있습니다.
\left( \frac{\partial}{\partial t} v + A \right) v = 0