크로네커 델타 (Kronecker delta)에 대해 알아보겠습니다. 크로네커 델타는 계산을 할 때 큰 도움을 주는 친구입니다. 물론 물리적으로도 의미가 있지만 계산을 할 때 좋죠. 이번 글에서는 크로네커 델타의 정의 및 성질을 알아보도록 하겠습니다.
크로네커 델타 (Kronecker delta)
크로네커 델타는 정수집합 $\mathbf{Z}$에서 정의된 함수입니다. 기호로는 $\delta[n]$라고 씁니다. 아래와 같은 값을 갖는 함수 입니다.
$$
\delta[n]=
\begin{cases}
1, &\text{ if } n =0\\
0, &\text{ if } n \neq 0
\end{cases}
$$
$n=0$에서만 값을 $\delta[0]=1$을 갖고 나머지 $n$에 대해서는 $\delta[n]=0$인 함수입니다.
크로네커 델타의 성질
크로네커 델타의 성질중 핵심 성질을 아래와 같이 세개로 정리할 수 있습니다.
1. $\sum_{n=-\infty}^\infty \delta [n] =1 $
2. $f[n]$가 정수에서 정의된 함수일 때, $\delta[n]f[n] = \delta[n] f[0]$
3. $\sum_{n=-\infty} ^\infty \delta[n]f[n] = f[0]$
(1의 증명)
$\delta[n]$은 $n=0$일 때만 값을 $\delta[0]=1$로 갖고 나머지 $n$에선 $\delta[n]=0$이므로 당연합니다.
(2의 증명)
$n=0$일 때 $\delta[n]f[n]=\delta[0]f[0]$
$n\neq 0$일 때 $\delta[n]f[n]=0 \times f[n] = 0 $ 이고 $\delta[n] f[0] = 0 \times f[0] =0$ 따라서 증명 완료
(3의 증명)
1번과 같은 이유로 증명
크로네커 델타의 응용
크로네커 델타를 응용하면 계산할 때 유용합니다. 한가지 예시만 보여드리겠습니다.
$$\sum_{n=0}^K \delta[n-k]f[n]= ?$$
위의 식에서 $m=n-k$로 치환 하면 아래와 같은 식으로 바꿀 수 있어요.
$$\sum_{m=-k}^{K-k} \delta[m]f[m+k]$$
여기서 indicator function(Indicator function (지시함수)의 정의와 응용, 주의사항) 을 이용하면 아래와 같이 표현할 수 있답니다.
$$\sum_{m=-k}^{K-k} \delta[m]f[m+k] = \sum_{m=-\infty}^\infty \delta[m] f[m+k] \mathbf{1}_{\{-k,-k+1,…,K \}}[m]$$
따라서 위에서 설명한 3번째 성질에 의해 아래와 같은 식이 만들어집니다.
$$\sum_{m=-\infty}^\infty \delta[m] f[m+k] \mathbf{1}_{\{-k,-k+1,…,K \}}[m] = f[k] \mathbf{1}_{\{-k,-k+1,…,K \}}[k] $$
여기서 $k \leq K$라면 $$\sum_{n=0}^K \delta[n-k]f[n]= f[k]$$이고 $k > K$라면 $\sum_{n=0}^K \delta[n-k]f[n]= 0$ 라는 것을 알 수 있습니다.