아래와 같은 continuity equation이 있다고 하자.
\frac{\partial}{\partial t } p_t(x)+ \nabla_x \cdot (v_t(x) p_t(x)) = 0위의 식을 좀더 전개해보자. \nabla_x \cdot (v_t(x) p_t(x)) =p_t(x) \nabla_x \cdot v_t(x) +\nabla_x p_t(x) \cdot v_t(x) 이므로 이것을 contiuity equation에 대입하자.
그러면
\frac{\partial}{\partial t } p_t(x)+p_t(x) \nabla_x \cdot v_t(x) +\nabla_x p_t(x) \cdot v_t(x) = 0이것을 p_t(x) 로 나누자.
\frac{1}{p_t(x)}\frac{\partial}{\partial t } p_t(x)+ \nabla_x \cdot v_t(x) + \frac{1}{p_t(x)}\nabla_x p_t(x) \cdot v_t(x) = 0이것을 다시 정리하면
\frac{\partial}{\partial t } \log p_t(x)+ \nabla_x \cdot v_t(x) + \nabla_x \log p_t(x) \cdot v_t(x) = 0아래의 논문을 이해하는데 큰 자산이 될것이다.
References
[1] Lee, S., Cheong, S., Han, S., & Shin, J. W. FlowSE: Flow Matching-based Speech Enhancement. ICASSP 2025. doi:10.1109/ICASSP49660.2025.10888274.