신호가 있을 때 이 신호는 여러 주파수의 합성이라는 가정이 깔려있다. 이 신호에서 주파수가 낮은 대역의 신호를 추출하고 싶다면 저역 통과 필터(low pass filter)를 사용하면 된다. 이번 글에서는 저역 통과 필터가 무엇인지 알아보고 이것의 특성중 하나인 Gibbs phenomenon을 알아보자.
Low pass filter(저역 통과 필터)
신호에는 다양한 주파수의 신호가 합성되어있다. 특정 주파수 대역의 신호만을 원한다면 저역 통과 필터에 통과시키면 된다. 저역 통과 필터는 LTI System으로써 impulse response인 $h[n]$으로 표현된다. 어떤 신호 $x[n]$이 이 저역통과 필터를 통과하게 된다면 $X(e^{j\omega})$에 Frequency Response인 $H(e^{j\omega})$를 곱해진다. 저역 통과 필터의 Frequency response는 다음과 같다.
$$H(e^{j\omega}) = \begin{cases} 1 & |\omega| \leq \omega_c \\ 0 & \omega_c < |\omega| \leq \pi \end{cases}$$
푸리에 역변환을 이용하면 $h[n]$은 다음과 같이 나온다.
$$h[n] = \frac{ \sin \omega_c n}{\pi n} = sinc [n]$$
Gibbs Phenomenon
이제 여기서 재밌는 현상이 발생된다. $\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| = \infty$이고 $\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]|^2 < \infty$ 이므로 푸리에 변환 $H(e^{j\omega})$은 평균 제곱의 개념으로 수렴함을 알 수 있다. 근데 한번 생각해보면 $H(e^{j\omega})$이 정녕 균일 수렴안하는지 알고 싶다. 그것을 분석하기 위해 다음의 작업을 해보자.
$$w_M[n] = \begin{cases} 1 & |n| \leq M \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$$
이라 정의하고
$h_M[n] = w_M[n] h[n]$이라 정의하면 $H_M(e^{j\omega})$는 균일 수렴의 의미로써 존재함을 알 수 있다. 그러면 과연 $H_M(e^{j\omega})$는 $H(e^j{\omega})$로 균일 수렴하는지 살펴보면.. 실제로 그렇진 않다. $\omega_c$ 주변에서 신호가 겁나 튀는 현상이 발생하기 때문이다. 그렇기 때문에 균일 수렴을 하지 못한다. 그렇지만 평균 제곱의 의미로써 수렴을 한다. 이 현상을 Gibbs Phenomenon이라고 부른다. 더 자세한 것은 밑에 영상!