지난번 글에서 입력이 WSS 인 LTI 시스템에서는 입출력이 Jointly WSS가 되어서 Correlation Function 을 시간 간격에만 의존한다는 사실을 알 수 있었다.(Jointly WSS의 예시) LTI System 입출력) 따라서 Correlation Function 을 아래와 같이 시간 간격 $\tau$에 관한 함수로 볼 수 있다.
$X_t$,$Y_t$의 Correlation Function
$X_t$가 WSS 이고 아래와 같이 $Y_t$는 $X_t$가 LTI 시스템을 거쳐서 나온 프로세스라고 하자.
그러면 $X_t$,$Y_t$는 Jointly WSS 이므로 Correlation는 시간간격 $\tau$에 관한 함수이다.
$$\begin{align} R_{X}(\tau)&=E[X_{t+\tau}X_t]\\R_{Y}(\tau) &=E[Y_{t+\tau}Y_t] \\ R_{XY}(\tau)&= E[X_{t+\tau}Y_t] \end{align}$$
Correlation Function간의 관계
LTI 시스템의 특성으로 인해 $Y_t$는 $h(t)$와 $X_{t}$의 컨볼루션 형태이다. 이를 활용하면 Correlation Function 의 관계는 다음과 같다.
$$\begin{align} R_{XY}(\tau) = h(-\tau) * R_{X}(\tau) \\ R_{Y}(\tau) = h(\tau) * R_{XY}(\tau)\end{align}$$
여기서 $*$는 컨볼루션의 의미이다.
LTI 시스템이 컨볼루션으로 표현되듯 LTI 시스템의 입출력의 Correlation 이 컨볼루션으로 표현될 수 있다는 것을 확인할 수 있다.
Correlation Function 의 Fourier Transformation
이제 $R_{X}(\tau)$,$R_{Y}(\tau)$,$R_{XY}(\tau)$의 Fourier Transformation을 각각 $S_{X}(f)$,$S_{Y}(f)$,$S_{XY}(f)$라고 하자. 그러면 아래의 관계를 유도 할 수 있다. 여기서 $h(t)$는 실수라고 가정하고 $H(f)$은 Transfer Function 이라 하자.
$$S_Y(f) = H(f) S_{XY}(f) $$
$$S_{XY}(f) = H^{*}(f)S_{X}(f)$$
위 두 식을 활용하면 다음을 알수 있다.
$$S_Y(f) = \left|H(f)\right|^2S_X(f)$$
$S_Y(f)$를 $S_X(f)$에 $H(f)$의 Magnitude의 제곱을 곱해서 구할 수 있음을 알 수 있다.