시스템이 Causal 하다는 의미를 좀 더 고찰해 보려고 한다. Causal의 의미는 원인이 있어서 출력이 있다는 의미인데 더 깊게 들어가 보면 같은 원인이 있다면 같은 결과가 나온다라는 의미로도 생각이 든다. 과연 그럴까? 모든 시스템에서 그런지는 모르겠고 LTI System에서는 그렇다.
LTI System에서 Causal의 또 다른 정의
LTI System 이 있다고 하자. 다음의 조건을 만족하면 LTI System은 Causal이다.
(조건)모든 $n_0$에 대해 입력 $x_1[n]$, $x_2[n]$이 $x_1[n]=x_2[n]$ for $n\leq n_0$ 일때마다 $y_1[n_0] = y_2[n_0]$
증명
$x_3[n]=x_2[n]-x_1[n]$이라 하자. 출력 $y_3[n]$의 $n_0$의 값을 전개하자!
$$y_3[n_0] = \sum_{k=-\infty}^{n_0}(x_1[k]-x_2[k])h[n_0-k] +\sum_{k=n_0}^{\infty}(x_1[k]-x_2[k])h[n_0-k] \tag{1}\label{1}$$
$x_1[n],x_2[n]$은 $n_0$에 이전에 값이 같으므로 첫번째 항 $\sum_{k=-\infty}^{n_0}(x_1[k]-x_2[k])h[n_0-k]=0$이다. 이 사실을 (\ref{1})에 대입하고 $y_3[n_0]=0$이라는 결과를 대입하자. 그러면 $$\sum_{k=n_0}^{\infty}(x_1[k]-x_2[k])h[n_0-k]$$이다. (조건)을 만족하는 모든 $n_0$,$x_1[n]$,$x_2[n]$에 대해 만족해야 하므로 $x_1[k] – x_2[k]$에 곱해진 $h[-1],h[-2],h[-3],h[-4]…$는 0 이어야 한다. n<0일 때 h[n]이므로 이 시스템은 Causal이다.
반대로 LTI System이 Causal 일 때 (조건)이 만족함은 n<0일 때 h[n]라는 사실을 이용하면 쉽게 구할 수 있다.