어떤 현상을 모델링하는 대표적인 방법중 하나가 LTI System(Linear Time Invariant System) 입니다. LTI System(선형시불변 시스템)이라고 가정하면 해석하기도 계산하기도 쉬워지기 때문이죠. 해석하기 쉬워지는 이유중 하나는 LTI System은 Impulse Response $h[n]$에 의해 결정되기 때문입니다. LTI System 의 Impulse Response h[n]의 성질을 이용하면 여러가지를 할 수 있는데 Stable을 판정할 수 있습니다.
LTI System의 Impulse Response와 Stable간의 관계
LTI 시스템이 Stable이기 위한 필요충분조건은 시스템의 Impulse Response가 다음을 만족할 때이다.
$$\sum_{n=\infty}^{\infty}\left|h[n]\right| < \infty \tag{1}\label{1}$$
위의 명제는 굉장히 간단합니다. (\ref{1})을 보이기만 하면 stable임을 보일 수 있고 시스템이 stable이면 (\ref{1})임을 보일 수 있습니다. 증명을 해볼까요
증명 (☞) 방향
입력인 $x[n]$을 Impulse Response h[n] 를 이용하여 다음과 같이 정의합니다.
$$x[n] = \begin{cases} \frac{h^*[-n]}{\left|h[-n]\right|} &\text{ if } h[n] \neq 0 \\ 0 &\text{otherwise}\end{cases}$$
$|x[n]| \leq 1$이므로 $x[n]$은 bounded sequecne임을 알 수 있습니다.
여기서 *는 복소수의 켤레복소수를 뜻합니다.(Conjugate)
이제 $y[n] = x[n] * h[n]$ 이라고 y[0]을 구해봅니다.
$$y[0] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] x[-k] = \sum_{k=\infty}^{\infty}|h[k]|$$
결국엔 $y[0]는 \sum_{k-\infty}^{\infty}\left|h[k]\right|$이네요 $x[n]$이 bounded 이었으므로 $y[0] < \infty$인데 이것은 (\ref{1})임을 의미합니다.
증명 (☜) 방향
우선 $(\ref{1})$임을 가정합니다. 그리고 $x[n]$을 bounded 라고 가정합니다. 그러면 다음을 만족하는 $B_x$가 존재합니다.
$$ \left|x[n]\right| \leq B_x\tag{2}\label{2}$$
$y[n] = x[n] * h[n]$을 구해보면 다음과 같습니다.
$$y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k]x[n-k] \tag{3}\label{3}$$
$C = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left|h[k]\right|$라고 하면 다음을 만족합니다.
$$\begin{align}\left|y[n]\right| &\leq \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left|h[k]x[n-k]\right| \\ &\leq \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left|h[k]\right|\left|x[n-k]\right| \\ &\leq B_x \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left|h[k]\right| \\ &=B_x C < \infty \end{align}$$
여기서 $B_x$는 (\ref{2})에서 등장하는 $B_x$입니다.