manifold위의 curve의 길이 (length)와 riemannian metric간의 관계에 대해 알아보자.
manifold \sigma: U \subset \mathbb{R}^n \to M \subset \mathbb{R}^m 가 있고 이것의 riemannain metric g 가 있다고 하자.
U 의 원소 u \in U 는 u = (u_1,...,u_n) 라고 표현하자.
그러면 이제 시작하자.
M 위의 곡선 \gamma : [a,b] \to M , \gamma(t) = \sigma(u(t))이 있다고 하자. 그러면 이것의 길이는 아래와 같이 표현된다( Manifold 위에서 곡선 (curve)의 길이 (length) ).
Length(\gamma) = \int_a^b \lVert \gamma\prime(t) \rVert dt\gamma\prime(t) = \sum_{i=1}^n \sigma_{u_i} \frac{du_i(t)}{dt} 이므로
\lVert \gamma\prime (t) \rVert = \sqrt{<\gamma\prime (t) , \gamma\prime (t) > }\sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^m < \sigma_{u_i}, \sigma_{u_j}> \frac{du_i(t)}{dt} \frac{du_j(t)}{dt}}<\sigma_{u_i}, \sigma_{u_j}> = g_{ij} ( Manifold에 대해서 Riemannian metric이란? )이므로
\lVert \gamma\prime (t) \rVert = \sqrt{<\gamma\prime (t) , \gamma\prime (t) > }\sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^m < \sigma_{u_i}, \sigma_{u_j}> \frac{du_i(t)}{dt} \frac{du_j(t)}{dt}} = \sqrt{g_{ij} \frac{du_i(t)}{dt} \frac{du_j(t)}{dt}} 이고
Length(\gamma) = \int_a^b \lVert \gamma\prime(t) \rVert dt = \int_{a}^b \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^m < \sigma_{u_i}, \sigma_{u_j}> \frac{du_i(t)}{dt} \frac{du_j(t)}{dt}} = \sqrt{[du_1/dt, du_2/dt,...,du_n/dt]g[du_1/dt, du_2/dt,...,du_n/dt]^T} dt