Manifold 위에서 곡선 (curve)에 대해 알아보자.
manifold M 이 함수 \sigma : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m 에 의해 정의되었다고 하자. 곡선은 어떻게 정의될까? 두가지 방식이 있다.
첫번째는
\gamma(t) : [a,b] \to M 형태로 정의하는 방법이 있다.
두번째는
\beta(t) : [a,b] \to U 를 먼저 정의하고 \gamma (t) = \sigma ( \beta(t)) 를 정의하는 방법이 있다.
그런데, 첫번째의 경우도 \beta(t): [a,b] \to U 있다고 가정해서 \gamma(t) = \sigma(\beta(t)) 형태로 쓰기도 한다.
이상이다.