어떤 셋의 $X$가 있을 때 $\sigma$-field 를 정의하였다.($\sigma$-algebra($\sigma$-field)시그마 대수, 시그마 필드 정의) 시그마 대수의 정의를 그냥 보면 사실 이해가 되지 않는다. 왜 하는지 이해가 안된다.
사실 시그마 대수를 정의하는 이유(훗날 자세히 설명)는 measure라는 것을 만들어서 어떤 $X$의 부분집합 중에서 크기를 잴 수 있는 부분집합들을 구분하기 위해서다. 용어 정리를 해보자
설명을 하기 전에 Notation 설명을 하자만 $X$와 $Y$는 집합을 의미하고 $\Sigma_X$와 $\Sigma_Y$는 각각 $X$와 $Y$위에서 정의된 $\sigma$-field를 의미한다.
Measurable set
$A \in \Sigma_X$를 Measurable set이라고 부른다. $A$는 측정할수(measurable)있기 때문에 이런 이름이 붙혔다.
Measurable space $(X, \Sigma)$
$X$와 시그마 대수 $\Sigma_X$를 묶어서 $(X,\Sigma)$를 measurable space라고 부른다.
Measurable function
함수 $f:X\to Y$가 다음을 만족할 때 함수 $f$는 $(X,\Sigma_X)$와 $(Y,\Sigma_Y)$에 대하여 measurable function 이라고 부른다.
$$\forall A \in \Sigma_Y, f^{-}(A) \in \Sigma_X$$
이 의미는 $Y$에서 사이즈 크기를 잴 수 잇는 집합이 $f$의 inverse를 해도 사이즈 크기를 잘 수 있다는 의미이다.