Sigmal algebra 한국 말로는 시그마 대수에 대해 알아보겠습니다. sigma algebra (시그마 대수)는 무엇일까요? 해석학, 측도론 기반의 확률론등의 분야를 보면 시그마 대수(sigma algebra) 에 대해 많이 나오죠. 이게 보면 무슨말인지 모르겠어요. 저도 처음에 sigma algebra (시그마 대수)에 대해 이해하기 위해서 많은 시간을 쏟았습니다. 몇일을 고민하다 보니 결국엔 알게 되었어요. 여러분들은 저처럼 몇일 고민하지 말고 이 글을 보신후에 바로 이해하면 좋겠습니다.
Sigma algebra, 시그마 대수
시그마 대수 (Sigma algebra)는 어떤 set (집합) \Omega 의 부분집합들로 구성된 collection 입니다. 시그마 대수는 왜 정의하였을까요? \Omega 의 부분집합들중에 부피나 크기등을 재고 싶은 혹은 잴 수 있는 집합들을 모아두기 위하여 시그마 대수 (sigma algebra)를 정의합니다. 어떻게 측정하는지는 나중에 알아보도록 합시다. 이번 글에서는 Sigma algebra 의 정의와 Sigma algebra 의 의미 등에 대해 알아보겠습니다.
Sigma algebra (시그마 대수)의 정의
\Omega 를 어떤 set 이라고 합시다. \Omega 의 부분집합들로 구성된 collection \mathcal{F} 이 있다고 합시다. 아래의 세가지 조건을 만족할 때 \mathcal{F} 를 sigma algebra 라고 부릅니다.
- \empty \in \mathcal{F}
- F \in \mathcal{F} 이면 F^c \in \mathcal{F}
- F_1,F_2,F_3,... \in \mathcal{F} 이면 \cup_{i=1}^\infty F_i \in \mathcal{F}
Sigma algebra (시그마 대수)의 의미
위의 sigma algebra 의 세가지 조건에 대해 해석을 해보겠습니다.
- 공집합은 sigma algebra 의 원소입니다. 무슨 말이냐면 공집합은 거리, 부피를 0으로 지정하니까 시그마 대수(크기나 부피를 잴 수 있는 셋의 모임)에 들어가는 것이 자연스럽죠.
- 어떤 집합이 sigma algebra의 원소이면 이것의 차집합도 sigma algebra 입니다. 어떤 집합의 크기를 잴 수 있으면 이 집합만큼 뺀 집합도 크기를 잴 수 있다는 뜻입니다.
- 크기를 잴 수 있는 집합들의 가산집합또한 크기를 잴 수 있다는 뜻입니다.
출처 – 위키백과