Probability Measure (확률 측도)에 대하여 알아아보겠습니다. Probability Measure 란 어떤 집합 \mathcal{\Omega} 의 부분집합들의 크기를 재는 함수입니다. 그런데 Probability Measure 라는 말이 있듯이 집합 \mathcal{\Omega} 에 어떤 확률을 주는 방법입니다. 이번 글에서는 Probability Measure 의 정의에 대하여 보겠습니다.
Probability Measure (확률 측도)에 대하여 알아보자
앞에서 말씀 드렸듯이 Probability Measure (확률 측도)에 대하여 알아보겠습니다. Probability Measure (확률 측도)에 대해 알아보기 전에 Probability Measure (확률 측도)를 정의하기 위해 필요한 지식들부터 살펴보고 Probability Measure (확률 측도)를 정의한 이후에 Probability Measure (확률 측도)의 의미에 대해 알아보겠습니다. 이 글을 보시기 전에 Probability Measure 에 대해 이해하고 싶으신 분은 이 영상([랜덤프로세스] Probability Measure (확률측도))을 보시길 바랍니다. 영상을 보고 이해가 되지 않다면 이 글을 쭉 읽으셔도 되요.
Probability Measure (확률 측도)를 정의하기 위해 필요한 것
어떤 집합 \Omega 가 있다고 합시다. \Omega의 부분집합들이 발생할 확률을 잴것이니까 적당한 부분집합을 모아둔 시그마 대수 \mathcal{F} 있다고 합시다. (시그마 대수와 관련된 글, 시그마 대수와 관련된 영상) 그러면 (\Omega, \mathcal{F}) 가 measurable space ( measurable space에 대한 글, measurable space에 대한 영상) 정의가 되겠죠. 그리고 \mathcal{F} 의 원소는 크기를 측정가능 하다는 의미에서 measurable set 이라고 부릅니다. (measurable set에 대한 글, measurable set에 대한 영상) 이 상태에서 각각의 F \in \mathcal{F} 에 F 의 크기를 재는 확률을 정의합니다.
Probabiliity Measure (확률 측도)의 정의
말이 길었고 이제 Probabilty Measure를 정의하겠습니다. Probability Measure 는 시그마 대수 \mathcal{F} 위에 정의된 함수 P: \mathcal{F} \to [0,1] 를 의미합니다. 각각의 measurable set F \in \mathcal{F} 에 대하여 확률 값을 갖습니다. 그리고 Probability measure는 아래의 세가지 조건을 만족합니다.
- P( \empty)=0, P ( \Omega) = 1
- A_i \in \mathcal{F} , i=1,2,3,... 가 disjoint 일 때 P ( \cup_{i=1}^\infty A_i) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i)
Probability Measure (확률 측도)의 의미
Probability Measure 의 의미는 무엇일까요? 말그대로 확률을 잰다는 얘기입니다. P 가 [0,1] 에서 값을 갖는 다는 점과 가장 큰 집합 \Omega 에 대하여 P(\Omega) = 1 라는 점에서 그럴듯 하죠. 그리고 아무것도 없는 \empty 에 대하여 P(\empty) = 0 이죠. Proability Measure 에서 두번째 조건의 의미는 무엇일까요? 어떤 집합들이 있을 때 이것을 뭉쳐서 하나 잘개 쪼개서 측정하나 그 값은 같다는 의미입니다.