안녕하세요 측도론 (Measure Theory) 에 관해 얘기를 나눌껀데요 이번 글에서는 어떤 집합들에 의해 생성된 sigma algebra (시그마 대수)에 대해 알아보겠습니다. 영어로는 sigma algebra generated by families of sets 입니다. 이 글을 읽기전에 아래의 글들을 읽고 오시기 바랍니다.
[Measure Theory(측도론)-1] Sigma algebra, 시그마 대수에 대해
Sigma algebra (시그마 대수) generated by families of sets
집합 X 가 있다고 하자. 이 집합의 부분집합으로 구성된 시그마 대수를 정의하려고 한다. 그런데 집합 X 의 부분집합들로 구성된 어떠한 collection of subsets of X인 \mathcal{U} 가 있다고 하자. 이 \mathcal{U} 를 포함하는 sigma algebra를 모두 모아 만든 collection 을 \{ \mathcal{F}_\alpha \}_{\alpha \in \Alpha} 라고 하자. \mathcal{U} 에 의해 generated 된 sigma algebra 를 아래와 같이 정의한다.
\mathcal{F}(\mathcal{U}) = \cap_{\alpha \in A} \mathcal{F}_\alphaSigma algebra (시그마 대수)인 이유
위에서 정의한 \mathcal{F} ( \mathcal{U}) 은 과연 시그마 대수일까? 맞다. 왜냐고?
- \mathcal{F}_{\alpha} 는 모두 sigma algebra 이므로 \empty \in \mathcal{F}_\alpha 이므로 \empty \in \mathcal{F}(\mathcal{U})
- A \in \mathcal{F(\mathcal{U})} 이면 모든 \mathcal{F}_\alpha 에 대하여 A \in \mathcal{F}_\alpha 이다. \mathcal{F}_\alpha는 sigma algebra 이므로 A^C \in \mathcal{F}_\alpha 이고 따라서 A^C \in \mathcal{F}(\mathcal{U})
- A_i \in \mathcal{F}(\mathcal{U}) , i =1,2,3,... 이면 A_i \in \mathcal{F}_\alpha \text{ for all } \alpha 이다. \mathcal{F}_\alpha 는 sigma algebra 이므로 \cup_{i} A_i \in \mathcal{F}_\alpha 이므로 \cup_{i} A_i \in \mathcal{F} (\mathcal{U})
이렇게 해서 \mathcal{F}(\mathcal{U}) 은 sigma algebra임을 알 수 있다.
집합들을 포함하는 가장 작은 sigma algebra
그러면 \mathcal{F}(\mathcal{U}) 은 어떤 의미일까? \mathcal{U} 을 포함하는 sigma algebra는 여러개 일 수 있다. \mathcal{F}(\mathcal{U}) 는 \mathcal{U} 를 포함하는 sigma algebra 중에서 가장 작은 sigma algebra가 된다. 그 이유는? \mathcal{F}(\mathcal{U}) 의 정의를 보면 이해가 될것이다.